230. Площадь круга и его частей.
Общее определение площади, данное в п. 167, пригодно и для круга, но оно приводит к сложным вычислениям. Поэтому будем опираться на более специальное.
Определение. Площадью круга считают общий предел площадей вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.
И здесь справедливы те же соображения, что и при вычислении длины окружности: удвоение числа сторон можно было бы заменить произвольным процессом увеличения их числа, и можно даже отказаться от правильности многоугольников, лишь бы стороны их неограниченно уменьшались, так чтобы многоугольники все теснее примыкали к окружности.
Основной результат формулируется так:
Теорема. Площадь круга равна половине произведения длины его окружности на радиус.
Иначе говоря, мы получим формулу вида
Площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на я.
Доказательство. Докажем формулу 
Напишем выражения площадей вписанного и описанного 
-угольников:
Зная уже, что при 
апофема 
стремится к радиусу 
находим пределы указанных площадей при возрастании п:
(предел произведения равен произведению пределов, если они существуют, постоянный множитель выносится] за знак предела (п. 85)). Итак, оба предела равны одному и тому же числу;
принимаемому за площадь круга. Теорема доказана.
В технике чаще применяют формулу (230.1), заменяя в ней R через полудиаметр 
Тогда 
Площади кругов, согласно полученным формулам, относятся, как квадраты их радиусов (или диаметров). Это вполне естественно, так как все круги суть подобные фигуры, а площади подобных фигур должны относиться, как квадраты их линейных размеров.
Два сектора одного круга, имеющие равные центральные углы, равны между собой. Доля общей площади круга, приходящаяся на сектор с центральным углом а, пропорциональна углу раствора сектора.
Для сектора с углом а, выраженным в градусах или в радианах, имеем соответственно
Итак, площадь сектора равна половине произведения квадрата радиуса на центральный угол, выраженный в радианах.
Рассмотрим теперь сегмент круга радиуса R, соответствующий 
центральному углу а (в радианной мере).
Рис. 321.
Рис. 322.
Если угол а меньше развернутого, как на рис. 321, то площадь сегмента (область между хордой и дугой окружности, которую эта хорда стягивает) равна разности площадей сектора и треугольника АОВ; применяем формулу, выражающую площадь треугольника как половину произведения его сторон на синус угла между ними, и находим для площади сегмента
Эта формула остается, верна и для сегмента, соответствующего углу а, большему развернутого (сегмент, дополняющий только что рассмотренный до полного круга). Действительно, в этом случае следовало бы брать сумму площадей сегмента и треугольника, но так как в этом случае угол а больше развернутого, то синус, его отрицателен и формула (230.3) вновь дает искомую величину площади сегмента.
Задача 1. Три равные окружности радиуса R касаются друг друга попарно (рис. 322). Найти площадь заштрихованной фигуры.
Решение. Площадь фигуры, которую надо определить, равна разности площади равностороннего треугольника и площадей трех секторов. Так как сторона треугольника 
равна 
то площадь его легко вычисляется; она равна 
Секторы имеют центральные углы по 60°, каждый из них составляет одну шестую часть круга, и их суммарная площадь равна поэтому 
Итак, площадь искомой фигуры
Задача 2. Найти отношение площадей кругов, ограниченных вписанной и описанной окружностями равнобедренного прямоугольного треугольника.
Решение. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом а равна 
, периметр составляет 
следовательно, для радиуса вписанной окружности имеем 
. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, т. е. 
Находим отношение площадей соответствующих кругов:
Задача 3. Найти выражение площади сегмента через радиус круга и стрелку сегмента (стрелкой сегмента называется отрезок его оси симметрии, лежащий внутри сегмента, рис. 321).
Решение. Чтобы воспользоваться формулой, выражающей площадь сегмента, найдем центральный угол а (рис. 321). Легко находим косинус половины центрального угла:
откуда
и площадь сегмента выразится формулой
Упражнения
1. Хорда окружности делит перпендикулярный к ней радиус пополам. Длина ее равна 10 см. Найти длины дуг и площади сегментов, на которые она разбивает окружность и круг.
2. Найти площадь луночки задачи 4 п. 229 (см. рис. 320).
3. Две касательные к окружности радиуса R пересекаются под углом 45°. Найти площадь фигуры, ограниченной ими и меньшей дугой окружности, соединяющей точки касания.
