В математике существует несколько различных определений размерности, наиболее известна топологическая размерность. Идея определения размерности была высказана еще А. Пуанкаре. Размерность пустого множества полагается разной «-1» и далее по индукции. Если мы знаем, что такое размерность до $n-1$, то размерность $n$ некоторого множества означает, что его можно разбить на сколь угодно мелкие части множествами размерности $n$ – 1 и нельзя этого сделать множествами размерности $n$-2. Точка, линия, поверхность имеют, соответственно, топологические размерности $0,1,2$. Более точное понятие топологической размерности ввел нидерландский математик Брауэр (1881-1966). Другие математики (Хаусдорф, Безикович, Колмогоров) определили размерность по-другому. Их определения необязательно дают целые размерности (подробности смотри в главе 12).

Вернемся к эксперименту Ричардсона. Мы выбираем произвольно малую единицу измерения «а», линейку. Затем измеряем длину кривой линии, заменяя ее ломаной линией, составленной из равных отрезков длины «а». Если линейка используется $N$ раз, то общая измеряемая длина равна $N a$. Далее, в соответствии с определением Мандельброта, «фрактальная размерность» ломаной линии равна:
\[
D=\lim _{a \rightarrow 0} \frac{\lg N}{\lg \frac{1}{a}}
\]

Назовем $D$ «степенью изгибания» кривой линии (границы). Более точное определение фрактальной размерности и других «нецелых» размерностей см. в главе 11. В некоторых случаях дробь в (2.3) имеет постоянные значения на каждом шаге. Тогда
\[
D=\frac{\lg N}{\lg \frac{1}{a}}
\]

или
\[
N=(1 / a)^{D} .
\]

Если обозначить $S=N a$, то получим
\[
S=(1 / a)^{D-1} .
\]

Эта формула показывает, как измеряемая длина увеличивается при уменьшении единицы измерения.