Определение 10.10: Пусть $М$ — произвольное множество. Непустая совокупность $U$ некоторых его подмножеств называется кольцом, если для любых $A,B\in U:$
$A\cup B\in U$,
$A\mathrm{\setminus }B\in U$.
Определение 10.11: Непустая совокуиность $U$ подмножеств множества М называется алгеброй, если она удовлетворяет следуюшим условиям: если $A,B\in U$, то $A\cup B\in U$;

если $A\in U$, то и его дополнение $C=M\mathrm{\setminus }A\in U$

Теорема 10.6: Для того чтобы совокупность $U$ подмножеств множества М была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом $u$ чтобы $M\subset U$.

Определение 10.12: Непустая совокупность $U$ подмножеств множества $M$ называется $\sigma$-кольцом, если она — кольцо, замкнутое по отномению к операции сложения не только конечного, но и счетного семейства множеств, т. е.:
1. из условия $A_i\in U(i=1,2,\dots )$ следует, что $A=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in U$;
2. из условия $A,B\in U$ следует, что $A\mathrm{\setminus }B\in U$.

Определение 10.13: Непустая совокупность $U$ подмножеств множества М называется $\sigma$-алгеброй, если она удовлетворяет условию 1 из определения $\sigma$-кольца и условию 2 из определения алгебры .

Утверждение 10.1: Для того, чтобы совокупность $U$ была $\sigma$-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была $\sigma$-кольцом и чтобы $M\in U$.