Определение 10.10: Пусть $М$ — произвольное множество. Непустая совокупность $U$ некоторых его подмножеств называется кольцом, если для любых $A, B \in U:$
$A \cup B \in U$,
$A \backslash B \in U$.
Определение 10.11: Непустая совокуиность $U$ подмножеств множества М называется алгеброй, если она удовлетворяет следуюшим условиям: если $A, B \in U$, то $A \cup B \in U$;

если $A \in U$, то и его дополнение $C=M \backslash A \in U$

Теорема 10.6: Для того чтобы совокупность $U$ подмножеств множества М была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом $u$ чтобы $M \subset U$.

Определение 10.12: Непустая совокупность $U$ подмножеств множества $M$ называется $\sigma$-кольцом, если она — кольцо, замкнутое по отномению к операции сложения не только конечного, но и счетного семейства множеств, т. е.:
1. из условия $A_{i} \in U(i=1,2, \ldots)$ следует, что $A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in U$;
2. из условия $A, B \in U$ следует, что $A \backslash B \in U$.

Определение 10.13: Непустая совокупность $U$ подмножеств множества М называется $\sigma$-алгеброй, если она удовлетворяет условию 1 из определения $\sigma$-кольца и условию 2 из определения алгебры .

Утверждение 10.1: Для того, чтобы совокупность $U$ была $\sigma$-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была $\sigma$-кольцом и чтобы $M \in U$.