Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Множества Жюлиа дают наиболее впечатляющие иллюстрации того, как простой процесс может привести к чрезвычайно запутанным множествам. Итерации (отображения) Множества Жюлиа появляются в результате итераций функции $\int$ комплексной переменной $z$ и относятся к дискретным динамическим системам. В общем, множество Жюлиа – это динамический репеллер (отталкивающее множество). Как правило – это фрактал. Для функций, которые являются аналитическими на комплексной плоскости (и, следовательно, дифференцируемыми, то есть $f^{\prime}(z)=\lim _{w \rightarrow 0}(f(z+\omega)-f(z)) / \omega$ существует как комплексное число, где $z, \omega \in C$ ), мы можем использовать мощные методы теории функций комплексной переменной для получения намного более детальной информации о структуре таких отталкивающих множеств. Для удобства изложения мы предположим, что $f: \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{C}$ является полиномом степени $n \geq 2$ с комплексными коэффициентами, $f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n}$. Заметим, что с небольшими изменениями теория остается справедливой, если $f$ – рациональная функция $f(z)=R(z)=P(z) / Q(z)$ (где $P, Q$ – полиномы) на расширенной комплексной плоскости $C \cup\{\infty\}$, и многое из нее выполняется, если $f$ – мероморфная функция (то есть функция, которая аналитична на $\boldsymbol{C} \cup\{\infty\}$, за исключением конечного числа полюсов). Дадим краткое изложение основ теории комплексных отображений, следуя, в основном, Монтелю [11] и Фальконеру [2]. Будем обозначать через $f^{k} k$-ю итерацию (композицию) $f \circ \ldots \circ f$ функции $f$. Если $f(\omega)=\omega$, то точку $\omega$ назовем неподвижной точкой $f$, и если $f^{p}(\omega)=\omega$ для некоторого целого $p>1$ – то периодической точкой $f$; наименьшее $p$ такое, что $f^{p}(\omega)=\omega$ называется периодом $\omega$. Мы назовем $\omega, f(\omega), \ldots, f^{p}(\omega)$ орбитой периода $p$. Пусть $\omega$ – периодическая точка периода $p$, с $\left(f^{p}\right)^{\prime}(\omega)=\lambda$, где штрих означает комплексное дифференцирование. Точка $\omega$ называется Обратимся к простейшему примеру, когда $f(z)=z^{2}$ и, следовательно, $f^{k}(z)=z^{2^{k}}$. Точки, удовлетворяющие $f^{p}(z)=z$, это $\left\{\exp \left(2 \pi i q /\left(2^{p}-1\right)\right): 0 \leq q<2^{p}-2\right\}$. Они являются отталкивающими, так как $\left|\left(f^{p}\right)^{\prime}(z)\right|=2^{p}$ в таких точках. Таким образом, множество Жюлиа $J(f)$ – это окружность единичного радиуса: $|z|=1$. Очевидно, $J=f(J)=f^{-1}(J)$ и $f^{k}(z) \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$, если $|z|<1 ; f^{k}(z) \rightarrow \infty$, если $|z|>1$ и итерации $f^{k}(z)$ остаются на $J$ для всех $k$, если $|z|=1$. Итак, множество Жюлиа $J$ является границей между множествами точек, которые стремятся к 0 и $\infty$, то есть это – окружность. Конечно, в этом особом случае $J$ не является фракталом (рис. 6.1(а)). Изменим теперь немного функцию $f$, положив $f(z)=z^{2}+c$, где $c$ – это небольшое комплексное число. Легко видеть, что мы все еще имеем $f^{k}(z) \rightarrow \omega$, если $z$ мало, где $\omega$ – это неподвижная точка $f$, близкая к 0 , и что $f^{k}(z) \rightarrow \infty$, если $z$ велико. Опять, множество Жюлиа – это граница между этими двумя типами поведения, но оказывается, что теперь $J$ является фрактальной кривой, схематически изображенной на рис. 6.1(b)). Чтобы установить основные свойства множеств Жюлиа, нам потребуется понятие нормальных семейств аналитических функций и теорема Монтеля ${ }^{1}$. Пусть $U$ является открытым множеством в $\boldsymbol{C}$, и пусть $g_{k}: U \rightarrow \boldsymbol{C}$ является семейством комплексных аналитических функций (то есть функций, дифференцируемых на $U$ в комплексном смысле). Говорят, что семейство $\left\{g_{k}\right\}$ является нормальным на $U$, если любая последовательность функций, выбранных из $\left\{g_{k}\right\}$, имеет подпоследовательность, которая сходится равномерно на любом компактном подмножестве $U$ либо к ограниченной аналитической функции, либо к $\infty .3 a$ метим, что по стандартной теории комплексной переменной это означает, что подпоследовательность сходится либо к конечной анали- ${ }^{1}$ Читатели, которые хотят опустить эти технические подробности, могут перейти к главе 7. тической функции, либо к с на каждой связной компоненте $U$. В первом случае производные подпоследовательности должны сходиться к производной от предельной функции. Семейство $\left\{g_{k}\right\}$ является нормальным в точке $\omega$ множества $U$, если существует некоторое открытое подмножество $V \subset U$, содержащее $\omega$ такое, что $\left\{g_{k}\right\}$ является нормальным семейством на $V$. Это эквивалентно тому, что существует окрестность $V$ точки $\omega$, в которой каждая последовательность из $\left\{g_{k}\right\}$ имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся к ограниченной аналитической функции или к $\infty$. Теорема Монтеля 6.1 [11]: Пусть $\left\{g_{k}\right\}$ является семейством комплексных аналитических функций в открытой области $U . E с л и\left\{g_{k}\right\}$ не является нормальным семейством, то для всех $\omega \in \boldsymbol{C}$, с не более чем одним исключением, мы имеем $g_{k}(z)=\omega$ для некоторого $z \in U \quad u$ некоторого $k$. Мы проверим нормальность итераций комплексного полинома $f$. Определим Используя теорему Монтеля, мы покажем, что $J_{0}(f)$ совпадает с замыканием отталкивающих периодических точек, то есть с $J(f)$. Фактически (6.1) часто рассматривается как определение множества Жюлиа. Хотя наше определение $J(f)$ интуитивно более понятно, $J_{0}(f)$ гораздо легче для исследования. Мы выведем несколько основных свойств $J_{0}(f)$ с конечной целью показать, что $J(f)=J_{0}(f)$. Утверждение 6.2. $J_{0}(f)$ не пусто. Утверждение 6.3. $J_{0}(f)$ является инвариантным как для $f$, так и для $f^{-1}$, то есть $J_{0}=f\left(J_{0}\right)=f^{-1}\left(J_{0}\right)$. Доказательство. Мы покажем, что дополнение $F_{0}(f)$ – инвариант. Пусть $V$ – открытое множество с $\{f\}$ нормальной на $V$. Так как $f$ непрерывна, то $f^{-1}(V)$ – открытое множество. Пусть $\left\{f^{k_{i}}\right\}$ является подпоследовательностью $\left\{f^{k}\right\}$. Тогда $\left\{f^{k_{i}+1}\right\}$ имеет подпоследовательность $\left\{f^{k_{i}^{i}+1}\right\}$, которая равномерно сходится на компактных подмножествах $V$. Таким образом, если $D$ – компактное подмножество $f^{-1}(V)$, то $\left\{f^{k_{i}{ }^{1}}\right\}$ равномерно сходится на компактном множестве $f(D)$, поэтому $f^{k_{i}^{k}}$ равномерно сходится на $D$. Таким образом, $\left\{f^{k}\right\}$ нормальна на $f^{-1}(V)$, поэтому $F_{0} \subset f^{-1}\left(F_{0}\right)$. Другие требуемые включения могут быть получены аналогичным способом, используя то, что полином $f: \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{C}$ – открытое отображение, то есть, что $f(V)$ открыто, когда $V$ открыто. Утверждение 6.4. $J_{0}\left(f^{p}\right)=J_{0}(f)$ для любого положительного целого р. Доказательство. Снова мы работаем с дополнением $F_{0}$. Очевидно, если любая последовательность $\left\{f^{k}\right\}$ имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся на данном множестве, то же самое верно для $\left\{f^{p k}\right\}_{k \geq 1}$. Таким образом, $F_{0}(f) \subset F_{0}\left(f^{p}\right)$. Если $D$ компактно и $\left\{g_{k}\right\}$ семейство функций, равномерно сходящихся на $D$ либо к ограниченной функции, либо к $\infty$, то то же самое верно для $\left\{h \circ g_{k}\right\}$ для любого полинома $h$. Таким образом, если $\left\{f^{p k}\right\}_{k \geq 1}$ нормально на любом открытом множестве $V$, то это справедливо и для $\left\{f^{p k+r}\right\}_{k \geq 1}, r=0,1, \ldots, p-1$. Но любая подпоследовательность $\left\{f^{p k}\right\}_{k \geq 1}$ содержит бесконечную подпоследовательность $\left\{f^{p k+r}\right\}_{k \geq 1}$ для некоторого целого $r$ с $0 \leq r \leq p-1$, которая имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся на компактных подмножествах $V$. Отсюда $\left\{f^{k}\right\}$ нормальна, поэтому $F_{0}(f) \supset F_{0}\left(f^{p}\right)$. Наш следующий результат утверждает, что $f$ есть «перемешиваюшее» преобразование, то есть окрестности точек в $J_{0}$ покрывают почти всю комплексную плоскость при итерациях $f$. Утверждение 6.5. Пусть $f$ – полином, $\omega \in J_{0}(f)$ и пусть $U-$ любая окрестность $\omega$. Тогда $W \equiv \bigcup_{k=1}^{\infty} f^{k}(U)$ совпадает с $\boldsymbol{C}$, исключая, возможно, единственную точку. Любая такая исключительная точка не принадлежит $J_{0}(f)$ и не зависит от $\omega и$. Доказательство. По определению $J_{0}$ семейство $\left\{f^{k}\right\}$ не нормально в точке $\omega$, поэтому первая часть непосредственно вытекает из теоремы Монтеля. Предположим, что $v Если $z$ достаточно близка к $v$, то $f^{k}(z)-v \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$ и сходимость имеет место, например, на $\left\{z:|z-v|<(2 c)^{-1 /(n-1)}\right\}$. Таким образом, $\left\{f^{k}\right\}$ нормальна в точке $v$, поэтому исключительная точка $v Следующее утверждение (следствие) является основой многих компьютерных картинок множеств Жюлиа. Утверждение 6.7. Если $f$ – полином, то $J_{0}(f)$ имеет пустую внутренность. Доказательство. Предположим, $J_{0}(f)$ содержит открытое множество $U$. Тогда $J_{0}(f) \supset f^{k}(U)$ для всех $k$, по утверждению 6.3 , поэтому $J_{0}(f) \supset \bigcup_{k=1}^{\infty} f^{k}(U)$. По утверждению $6.5, J_{0}(f)$ это вся плоскость $\boldsymbol{C}$, исключая, возможно, одну точку. Это опровергает утверждение 6.1 об ограниченности $J_{0}(f)$. Утверждение 6.8. $J_{0}(f)$ – совериенное множество (то есть замкнутое и не имеет изолированньх точек) и поэтому несчетно. Доказательство. Мы можем теперь доказать главный результат этого раздела, что $J_{0}(f)$ – множество точек ненормальности $\left\{f^{k}\right\}$ ( это точно то же самое, что и $J(f)$, замыкание отталкивающих периодических точек $f$ ). Пусть $K=\left\{\omega \in J_{0}(f)\right.$ такое, что существует $z Пусть $U$ будет любая открытая окрестность $\omega$ с $U \subset V$. Так как $\omega \in J_{0}(f)$, семейство $\left\{f^{k}\right\}$ и, таким образом, из определения, семейство $\left\{h_{k}\right\}$ не является нормальным на $U$. По теореме Монтеля $h_{k}(z)$ должно принимать значение 0 или 1 для некоторого $k$ и $z \in U$. В первом случае $f^{k}(z)=z$ для некоторого $z \in U$; во втором случае $f^{k}(z)=f^{-1}(z)$, поэтому $f^{k+1}(z)=z$ для некоторого $z \in U$. Таким образом, $U$ содержит периодическую точку $f$, поэтому $\omega \in J(f)$. Мы показали, что $K \subset J(f)$; беря замыкание, получим $\bar{K} \subset \bar{J}(f)=J(f)$. Однако $K$ содержит все точки из $J_{0}(f)$, исключая конечное число точек. Так как $J_{0}(f)$ не содержит изолированных точек по утверждению 6.8 , то $J_{0}(f)=\bar{K} \subset J(f)$, что и требовалось доказать. Если $\omega$ – притягивающая неподвижная точка преобразования $f$, то мы назовем множество бассейном притяжения для $\omega$. Мы определяем бассейн притяжения бесконечности, $A(\infty)$, аналогично. Так как $\omega$ – притягивающая точка, то существует открытое множество $V$, содержащее $\omega$ в $A(\omega)$ (если $\omega=\infty$, мы можем взять $\{z:|z|>r\}$ для достаточно большого $r$ ). Это означает, что $A(\omega)$ открытое, ибо если $f^{k}(z) \in V$ для некоторого $k$, то $z \in f^{-k}(V)$, которое открытое. Следующая характеристика $J$ как границы любого бассейна притяжения чрезвычайно полезна в определении множеств Жюлиа. Обозначим границу множества $A$ через $\partial A$. Утверждение 6.10. Пусть $\omega-$ притягивающая неподвижная точка $f$. Тогда $\partial A(\omega)=J(f)$. То же самое справедливо, если $\omega=\infty$. Доказательство. Если $z \in J(f)$, то $f^{k}(z) \in J(f)$ для любых $k$. Следовательно, невозможна сходимость к притягивающей неподвижной точке и $z Предположим, $z \in \partial A(\omega)$, но $z В качестве примера, иллюстрирующего это утверждение, рассмотрим случай $f(z)=z^{2}$. Множество Жюлиа – это единичная окружность, которая является границей как для $A(0)$, так и для $A(\infty)$.
|
1 |
Оглавление
|