Множества Жюлиа дают наиболее впечатляющие иллюстрации того, как простой процесс может привести к чрезвычайно запутанным множествам. Итерации (отображения)
\[
z_{n+1}=f\left(z_{n}\right),
\]
$n=0,1,2, \ldots$ с простой функцией на комплексной плоскости $\boldsymbol{C}$, например с $f(z)=z^{2}+c$, где $c$ — ненулевая константа, вызывают появление различных экзотических фракталов (см. рис. 7.1).

Множества Жюлиа появляются в результате итераций функции $\int$ комплексной переменной $z$ и относятся к дискретным динамическим системам. В общем, множество Жюлиа — это динамический репеллер (отталкивающее множество). Как правило — это фрактал.

Для функций, которые являются аналитическими на комплексной плоскости (и, следовательно, дифференцируемыми, то есть $f^{\prime}(z)=\lim _{w \rightarrow 0}(f(z+\omega)-f(z)) / \omega$ существует как комплексное число, где $z, \omega \in C$ ), мы можем использовать мощные методы теории функций комплексной переменной для получения намного более детальной информации о структуре таких отталкивающих множеств.
6.1.1. Основы теории множеств Жюлиа

Для удобства изложения мы предположим, что $f: \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{C}$ является полиномом степени $n \geq 2$ с комплексными коэффициентами, $f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n}$. Заметим, что с небольшими изменениями теория остается справедливой, если $f$ — рациональная функция $f(z)=R(z)=P(z) / Q(z)$ (где $P, Q$ — полиномы) на расширенной комплексной плоскости $C \cup\{\infty\}$, и многое из нее выполняется, если $f$ — мероморфная функция (то есть функция, которая аналитична на $\boldsymbol{C} \cup\{\infty\}$, за исключением конечного числа полюсов). Дадим краткое изложение основ теории комплексных отображений, следуя, в основном, Монтелю [11] и Фальконеру [2].

Будем обозначать через $f^{k} k$-ю итерацию (композицию) $f \circ \ldots \circ f$ функции $f$. Если $f(\omega)=\omega$, то точку $\omega$ назовем неподвижной точкой $f$, и если $f^{p}(\omega)=\omega$ для некоторого целого $p>1$ — то периодической точкой $f$; наименьшее $p$ такое, что $f^{p}(\omega)=\omega$ называется периодом $\omega$. Мы назовем $\omega, f(\omega), \ldots, f^{p}(\omega)$ орбитой периода $p$. Пусть $\omega$ — периодическая точка периода $p$, с $\left(f^{p}\right)^{\prime}(\omega)=\lambda$, где штрих означает комплексное дифференцирование. Точка $\omega$ называется
— притягивающей, если $0 \leq|\lambda|<1$;
— индифферентной, если $|\lambda|=1$;
— отталкивающей, если $|\lambda|>1$.
Множество Жюлиа $J(f)$ преобразования $f$ определим как замыкание множества отталкивающих периодических точек $f$. Дополнение множества Жюлиа называется множеством Фату $[9,10]$ и обозначается через $F(f)$. Здесь мы исследуем геометрию и фрактальную природу множеств Жюлиа в случае, когда $f$ — полином. Мы покажем, что $J(f)$ является инвариантным множеством как для отображения $f$, так и для обратного отображения $f^{-1}$, то есть $J=f(J)=f^{-1}(J)$. Также покажем, что множество $J$ непустое и компактное. Более того, итерации $f$ ведут себя «хаотически» на $J$, и $J$ обычно является фракталом.

Обратимся к простейшему примеру, когда $f(z)=z^{2}$ и, следовательно, $f^{k}(z)=z^{2^{k}}$. Точки, удовлетворяющие $f^{p}(z)=z$, это $\left\{\exp \left(2 \pi i q /\left(2^{p}-1\right)\right): 0 \leq q<2^{p}-2\right\}$. Они являются отталкивающими, так как $\left|\left(f^{p}\right)^{\prime}(z)\right|=2^{p}$ в таких точках. Таким образом, множество Жюлиа $J(f)$ — это окружность единичного радиуса: $|z|=1$. Очевидно, $J=f(J)=f^{-1}(J)$ и $f^{k}(z) \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$, если $|z|<1 ; f^{k}(z) \rightarrow \infty$, если $|z|>1$ и итерации $f^{k}(z)$ остаются на $J$ для всех $k$, если $|z|=1$. Итак, множество Жюлиа $J$ является границей между множествами точек, которые стремятся к 0 и $\infty$, то есть это — окружность. Конечно, в этом особом случае $J$ не является фракталом (рис. 6.1(а)).

Изменим теперь немного функцию $f$, положив $f(z)=z^{2}+c$, где $c$ — это небольшое комплексное число. Легко видеть, что мы все еще имеем $f^{k}(z) \rightarrow \omega$, если $z$ мало, где $\omega$ — это неподвижная точка $f$, близкая к 0 , и что $f^{k}(z) \rightarrow \infty$, если $z$ велико. Опять, множество Жюлиа — это граница между этими двумя типами поведения, но оказывается, что теперь $J$ является фрактальной кривой, схематически изображенной на рис. 6.1(b)).

Чтобы установить основные свойства множеств Жюлиа, нам потребуется понятие нормальных семейств аналитических функций и теорема Монтеля ${ }^{1}$.

Пусть $U$ является открытым множеством в $\boldsymbol{C}$, и пусть $g_{k}: U \rightarrow \boldsymbol{C}$ является семейством комплексных аналитических функций (то есть функций, дифференцируемых на $U$ в комплексном смысле). Говорят, что семейство $\left\{g_{k}\right\}$ является нормальным на $U$, если любая последовательность функций, выбранных из $\left\{g_{k}\right\}$, имеет подпоследовательность, которая сходится равномерно на любом компактном подмножестве $U$ либо к ограниченной аналитической функции, либо к $\infty .3 a$ метим, что по стандартной теории комплексной переменной это означает, что подпоследовательность сходится либо к конечной анали-

${ }^{1}$ Читатели, которые хотят опустить эти технические подробности, могут перейти к главе 7.

тической функции, либо к с на каждой связной компоненте $U$. В первом случае производные подпоследовательности должны сходиться к производной от предельной функции. Семейство $\left\{g_{k}\right\}$ является нормальным в точке $\omega$ множества $U$, если существует некоторое открытое подмножество $V \subset U$, содержащее $\omega$ такое, что $\left\{g_{k}\right\}$ является нормальным семейством на $V$. Это эквивалентно тому, что существует окрестность $V$ точки $\omega$, в которой каждая последовательность из $\left\{g_{k}\right\}$ имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся к ограниченной аналитической функции или к $\infty$.
Рис. 6.1
Теория множеств Жюлиа основывается на фундаментальной теореме Монтеля. Эта глубокая теорема утверждает, что ненормальные семейства функций принимают все комплексные значения, исключая возможно одно около каждой точки.

Теорема Монтеля 6.1 [11]: Пусть $\left\{g_{k}\right\}$ является семейством комплексных аналитических функций в открытой области $U . E с л и\left\{g_{k}\right\}$ не является нормальным семейством, то для всех $\omega \in \boldsymbol{C}$, с не более чем одним исключением, мы имеем $g_{k}(z)=\omega$ для некоторого $z \in U \quad u$ некоторого $k$.

Мы проверим нормальность итераций комплексного полинома $f$. Определим
\[
J_{0}(f)=\left\{z \in \boldsymbol{C} \text { : семейство }\left\{f^{k}\right\}_{k \geq 0} \text { не нормально в } z\right\} .
\]

Используя теорему Монтеля, мы покажем, что $J_{0}(f)$ совпадает с замыканием отталкивающих периодических точек, то есть с $J(f)$. Фактически (6.1) часто рассматривается как определение множества Жюлиа. Хотя наше определение $J(f)$ интуитивно более понятно, $J_{0}(f)$ гораздо легче для исследования. Мы выведем несколько основных свойств $J_{0}(f)$ с конечной целью показать, что $J(f)=J_{0}(f)$.
Заметим, что дополнение
$F_{0}(f)=\boldsymbol{C} \backslash J_{0}(f)=\{z \in \boldsymbol{C}$ и таких, что существует открытое множество $V$ с $z \in V$ и семейством $\left\{f_{k}\right\}$, нормальным на $\left.V\right\}$ является, очевидно, открытым множеством.
Утверждение 6.1. Если $f$-полином, то $J_{0}(f)$ компактно.
Доказательство. По вышеприведенному замечанию $J_{0}(f)$ имеет открытое дополнение, поэтому оно замкнуто. Так как $f$ — полином степени, по крайней мере, 2 , мы можем найти такое $r$, что $|f(z)| \geq 2|z|$ и $\left|f^{k}(z)\right|>2^{k} r$, если $|z| \geq r$. Таким образом, $f^{k}(z) \rightarrow \infty$ равномерно на открытом множестве $V=\{z:|z|>r\}$. По определению, $\left\{f^{k}\right\}$ нормально на $V$, так что $V \subset C \backslash J_{0}(f)$. Таким образом, $J_{0}(f)$ ограничено и поэтому компактно.
(Заметим, что если $f: C \cup\{\infty\} \rightarrow C \cup\{\infty\}$ является рациональной функцией, то $J_{0}$ должно быть замкнуто, но не обязано быть ограниченным. Действительно, возможно $J_{0}$ будет всей комплексной плоскостью; например, если $f(z)=((z-2) / z)^{2}$.)

Утверждение 6.2. $J_{0}(f)$ не пусто.
Доказательство. Предположим, что $J_{0}(f)=\varnothing$. Тогда, для любого $r>0$ семейство $\left\{f^{k}\right\}$ нормально на открытом круге $B_{r}^{0}(0)$ с центром в начале координат и радиуссм $r$ (так как замкнутый диск $B_{r}(0)$ является компактным, он может быть покрыт конечным числом открытых множеств, на которых $f^{k}$ нормальна). Так как $f$ — полином, взяв $r$ достаточно большим, получим, что $B_{r}^{0}(0)$ содержит точку $z$, для которой $\left|f^{k}(z)\right| \rightarrow \infty$ и также содержит неподвижную точку $\omega$ преобразования $f: f^{k}(\omega)=\omega$ для всех $k$. Таким образом, невозможно для любой подпоследовательности $\left\{f^{k}\right\}$ равномерно сходиться либо к ограниченной функции, либо к бесконечности на любом компактном подмножестве $B_{r}^{0}(0)$, которое содержит как $z$, так и $\omega$, опровергая нормальность $\{f\}$.

Утверждение 6.3. $J_{0}(f)$ является инвариантным как для $f$, так и для $f^{-1}$, то есть $J_{0}=f\left(J_{0}\right)=f^{-1}\left(J_{0}\right)$.

Доказательство. Мы покажем, что дополнение $F_{0}(f)$ — инвариант. Пусть $V$ — открытое множество с $\{f\}$ нормальной на $V$. Так как $f$ непрерывна, то $f^{-1}(V)$ — открытое множество. Пусть $\left\{f^{k_{i}}\right\}$ является подпоследовательностью $\left\{f^{k}\right\}$. Тогда $\left\{f^{k_{i}+1}\right\}$ имеет подпоследовательность $\left\{f^{k_{i}^{i}+1}\right\}$, которая равномерно сходится на компактных подмножествах $V$. Таким образом, если $D$ — компактное подмножество $f^{-1}(V)$, то $\left\{f^{k_{i}{ }^{1}}\right\}$ равномерно сходится на компактном множестве $f(D)$, поэтому $f^{k_{i}^{k}}$ равномерно сходится на $D$. Таким образом, $\left\{f^{k}\right\}$ нормальна на $f^{-1}(V)$, поэтому $F_{0} \subset f^{-1}\left(F_{0}\right)$. Другие требуемые включения могут быть получены аналогичным способом, используя то, что полином $f: \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{C}$ — открытое отображение, то есть, что $f(V)$ открыто, когда $V$ открыто.

Утверждение 6.4. $J_{0}\left(f^{p}\right)=J_{0}(f)$ для любого положительного целого р.

Доказательство. Снова мы работаем с дополнением $F_{0}$. Очевидно, если любая последовательность $\left\{f^{k}\right\}$ имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся на данном множестве, то же самое верно для $\left\{f^{p k}\right\}_{k \geq 1}$. Таким образом, $F_{0}(f) \subset F_{0}\left(f^{p}\right)$.

Если $D$ компактно и $\left\{g_{k}\right\}$ семейство функций, равномерно сходящихся на $D$ либо к ограниченной функции, либо к $\infty$, то то же самое верно для $\left\{h \circ g_{k}\right\}$ для любого полинома $h$. Таким образом, если $\left\{f^{p k}\right\}_{k \geq 1}$ нормально на любом открытом множестве $V$, то это справедливо и для $\left\{f^{p k+r}\right\}_{k \geq 1}, r=0,1, \ldots, p-1$. Но любая подпоследовательность $\left\{f^{p k}\right\}_{k \geq 1}$ содержит бесконечную подпоследовательность $\left\{f^{p k+r}\right\}_{k \geq 1}$ для некоторого целого $r$ с $0 \leq r \leq p-1$, которая имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся на компактных подмножествах $V$. Отсюда $\left\{f^{k}\right\}$ нормальна, поэтому $F_{0}(f) \supset F_{0}\left(f^{p}\right)$.

Наш следующий результат утверждает, что $f$ есть «перемешиваюшее» преобразование, то есть окрестности точек в $J_{0}$ покрывают почти всю комплексную плоскость при итерациях $f$.

Утверждение 6.5. Пусть $f$ — полином, $\omega \in J_{0}(f)$ и пусть $U-$ любая окрестность $\omega$. Тогда $W \equiv \bigcup_{k=1}^{\infty} f^{k}(U)$ совпадает с $\boldsymbol{C}$, исключая, возможно, единственную точку. Любая такая исключительная точка не принадлежит $J_{0}(f)$ и не зависит от $\omega и$.

Доказательство. По определению $J_{0}$ семейство $\left\{f^{k}\right\}$ не нормально в точке $\omega$, поэтому первая часть непосредственно вытекает из теоремы Монтеля.

Предположим, что $v
otin W$. Если $f(z)=v$, то, так как $f(W) \subset W$, то $z
otin W$. Так как $C \backslash W$ состоит из самое большее одной точки, то $z=v$. Отсюда, $f$ — полином степени $n$ такой, что единственное
решение $f(z)-v=0$ — это $v$, и $f(z)-v=c(z-v)^{n}$ для некоторой константы $c$.

Если $z$ достаточно близка к $v$, то $f^{k}(z)-v \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$ и сходимость имеет место, например, на $\left\{z:|z-v|<(2 c)^{-1 /(n-1)}\right\}$. Таким образом, $\left\{f^{k}\right\}$ нормальна в точке $v$, поэтому исключительная точка $v
otin J_{0}(f)$. Очевидно, $v$ зависит только от полинома $f$. (Фактически, если $W$ не содержит точку $v$ из $C$, то $J_{0}(f)$ — это окружность с центром в точке $v$ и радиуса $\left.c^{-1 /(n-1)}\right)$.

Следующее утверждение (следствие) является основой многих компьютерных картинок множеств Жюлиа.
Утверждение 6.6.
(a) Следующее свойство выполняется для всех $z \in \boldsymbol{C}$ с, самое большее, одним исключением: если $U$ — открытое множество, пересекающее $J_{0}(f)$, то $f^{-k}(z)$ пересекает $U$ для бесконечно многих значений $k$.
(б) Если $z \in J_{0}(f)$, то $J_{0}(f)$ — это замыкание $\bigcup_{k=1}^{\infty} f^{-k}(z)$.
Доказательство.
(a) При условии, что $z$ не является исключительной точкой утверждения 6.5, $z \in f^{k}(U)$. Поэтому $f^{-k}(z)$ пересекает $U$ для некоторого $k$. Используя это повторно, мы получим бесконечную последовательность $k$ с $f^{-k}(z)$, пересекающей $U$.
(б) Если $z \in J_{0}(f)$, то $f^{-k}(z) \subset J_{0}(f)$ по утверждению 6.3 , так что $\bigcup_{k=1}^{\infty} f^{-k}(z)$ и, поэтому, его замыкание содержится в замкнутом множестве $J_{0}(f)$. С другой стороны, если $U$ — открытое множество, содержащее $z \in J_{0}(f)$, то $f^{-k}(z)$ пересекает $U$ для некоторого $k$ по пункту (а); $z$ не может быть исключительной точкой по утверждению 6.5 .
Другое непосредственное следствие из утверждения 6.5 — это то, что $J_{0}(f)$ не может быть «слииком толстым».

Утверждение 6.7. Если $f$ — полином, то $J_{0}(f)$ имеет пустую внутренность.

Доказательство. Предположим, $J_{0}(f)$ содержит открытое множество $U$. Тогда $J_{0}(f) \supset f^{k}(U)$ для всех $k$, по утверждению 6.3 , поэтому $J_{0}(f) \supset \bigcup_{k=1}^{\infty} f^{k}(U)$. По утверждению $6.5, J_{0}(f)$ это вся плоскость $\boldsymbol{C}$, исключая, возможно, одну точку. Это опровергает утверждение 6.1 об ограниченности $J_{0}(f)$.

Утверждение 6.8. $J_{0}(f)$ — совериенное множество (то есть замкнутое и не имеет изолированньх точек) и поэтому несчетно.

Доказательство.
Пусть $v \in J_{0}(f)$ и пусть $U$ будет окрестностью $v$. Мы должны показать, что $U$ содержит другие точки $J_{0}(f)$. Мы рассмотрим эти три случая отдельно.
(1) $v$ не является неподвижной или периодической точкой $f$. По утверждению 6.3 и утверждению 6.6(б), $U$ содержит точку $f^{-k}(v) \subset J_{0}(f)$ для некоторого $k \geq 1$, и эта точка должна быть отлична от $v$.
(2) $f(v)=v$. Если $f(z)=v$ не имеет решения отличного от $v$, тогда так же, как и в доказательстве утверждения $6.5, v
otin J_{0}(f)$. Таким образом, существует $\omega
eq v$ с $f(\omega)=v$. По утверждению 6.6(б) $U$ содержит точку $f^{-k}(\omega)$ для некоторого $k \geq 1$. Любая такая точка находится в $J_{0}(f)$ с помощью обратного инварианта и отличается от $v$, так как $f^{k}(v)=v$.
(3) $f^{p}(v)=v$ для некоторого $p>1$. По утверждению 6.4, $J_{0}(f)=J_{0}\left(f^{p}\right)$, поэтому, применяя (6.2) к $f^{p}$, мы видим, что $U$ содержит точки $J_{0}\left(f^{p}\right)=J_{0}(f)$ другие, чем $v$.

Мы можем теперь доказать главный результат этого раздела, что $J_{0}(f)$ — множество точек ненормальности $\left\{f^{k}\right\}$ ( это точно то же самое, что и $J(f)$, замыкание отталкивающих периодических точек $f$ ).
Утверждение 6.9. Если $f$-полином, тогда $J(f)=J_{0}(f)$.
Доказательство. Пусть $\omega$ будет отталкивающей периодической точкой $f$ периода $p$, поэтому $\omega$ — отталкивающая неподвижная точка $g=f^{p}$. Предположим, что $\left\{g^{k}\right\}$ нормально в точке $\omega$, тогда $\omega$ имеет открытую окрестность $V$, на которой подпоследовательность $\left\{g^{k_{i}}\right\}$ сходится к конечной аналитической функции $g_{0}$ (она не может сходиться к $\infty$, так как $g^{k}(\omega)=\omega$ для всех $k$ ). По известному результату из комплексного анализа производные также сходятся, $\left(g^{k_{i}}\right)^{\prime}(z) \rightarrow g_{o}^{\prime}(z)$, если $z \in V$. Однако $\left|\left(g^{k_{i}}\right)^{\prime}(\omega)\right|=\mid\left(g^{\prime}(\omega)\right)^{k_{i}} \rightarrow \infty$, так как $\omega$ — это отталкивающая неподвижная точка и $\left|g^{\prime}(\omega)\right|>1$. Это опровергает конечность $g_{0}^{\prime}(\omega)$, поэтому $\left\{g^{k}\right\}$ не может быть нормальным в $\omega$. Таким образом, $\omega \in J_{0}(g)=J_{0}\left(f^{p}\right)=J_{0}(f)$, по утверждению 6.4. Так как $J_{0}(f)$ замкнуто, то отсюда следует $J(f) \subset J_{0}(f)$.

Пусть $K=\left\{\omega \in J_{0}(f)\right.$ такое, что существует $z
eq \omega$ с $f(z)=\omega$ и $\left.f^{\prime}(z)
eq 0\right\}$. Предположим, что $\omega \in K$. Тогда существует открытая окрестность $V$ точки $\omega$, в которой мы можем найти локальную аналитическую обратную функцию $f^{-1}: V \rightarrow \boldsymbol{C} \backslash V$, так что $f\left(f^{-1}(z)\right)=z$ для $z \in V$ (только выбирайте значения $f^{-1}(z)$ непрерывным способом). Определим семейство аналитических функций $\left\{h_{k}\right\}$ на $V$ с помощью
\[
h_{k}(z)=\frac{\left(f^{k}(z)-z\right)}{\left(f^{-1}(z)-z\right)} .
\]

Пусть $U$ будет любая открытая окрестность $\omega$ с $U \subset V$. Так как $\omega \in J_{0}(f)$, семейство $\left\{f^{k}\right\}$ и, таким образом, из определения, семейство $\left\{h_{k}\right\}$ не является нормальным на $U$. По теореме Монтеля $h_{k}(z)$ должно принимать значение 0 или 1 для некоторого $k$ и $z \in U$. В первом случае $f^{k}(z)=z$ для некоторого $z \in U$; во втором случае $f^{k}(z)=f^{-1}(z)$, поэтому $f^{k+1}(z)=z$ для некоторого $z \in U$. Таким образом, $U$ содержит периодическую точку $f$, поэтому $\omega \in J(f)$.

Мы показали, что $K \subset J(f)$; беря замыкание, получим $\bar{K} \subset \bar{J}(f)=J(f)$. Однако $K$ содержит все точки из $J_{0}(f)$, исключая конечное число точек. Так как $J_{0}(f)$ не содержит изолированных точек по утверждению 6.8 , то $J_{0}(f)=\bar{K} \subset J(f)$, что и требовалось доказать.

Если $\omega$ — притягивающая неподвижная точка преобразования $f$, то мы назовем множество
\[
A(\omega)=\left\{z \in \boldsymbol{C}: f^{k}(z) \rightarrow \omega \text { при } k \rightarrow \infty\right\}
\]

бассейном притяжения для $\omega$. Мы определяем бассейн притяжения бесконечности, $A(\infty)$, аналогично. Так как $\omega$ — притягивающая точка, то существует открытое множество $V$, содержащее $\omega$ в $A(\omega)$ (если $\omega=\infty$, мы можем взять $\{z:|z|>r\}$ для достаточно большого $r$ ). Это означает, что $A(\omega)$ открытое, ибо если $f^{k}(z) \in V$ для некоторого $k$, то $z \in f^{-k}(V)$, которое открытое. Следующая характеристика $J$ как границы любого бассейна притяжения чрезвычайно полезна в определении множеств Жюлиа. Обозначим границу множества $A$ через $\partial A$.

Утверждение 6.10. Пусть $\omega-$ притягивающая неподвижная точка $f$. Тогда $\partial A(\omega)=J(f)$. То же самое справедливо, если $\omega=\infty$.

Доказательство. Если $z \in J(f)$, то $f^{k}(z) \in J(f)$ для любых $k$. Следовательно, невозможна сходимость к притягивающей неподвижной точке и $z
otin A(\omega)$. Однако, если $U$ — любая окрестность $z$, то множество $f^{k}(U)$, по утверждению 6.5 , содержит точки $A(\omega)$ для некоторого $k$. Поэтому существуют точки произвольно близкие к $z$, которые приближаются к $\omega$. Таким образом, $z \in \overline{A(\omega)}$, и поэтому $z \in \partial A(\omega)$.

Предположим, $z \in \partial A(\omega)$, но $z
otin J(f)=J_{0}(f)$. Тогда $z$ имеет связную открытую окрестность $V$, на которой $\left\{f^{k}\right\}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся либо к аналитической функции, либо к $\infty$. Подпоследовательность сходится к $\omega$ на $V \cap A(\omega)$, которое открыто и не пусто, и поэтому сходится и на $V$, так как аналитическая функция постоянна на связном множестве, если она постоянна на любом открытом подмножестве. Все точки $V$ отображаются в $A(\omega)$ итерациями $f$, поэтому $V \subset A(\omega)$, опровергая, что $z \in \partial A(\omega)$.

В качестве примера, иллюстрирующего это утверждение, рассмотрим случай $f(z)=z^{2}$. Множество Жюлиа — это единичная окружность, которая является границей как для $A(0)$, так и для $A(\infty)$.
Теперь мы соберем все главные результаты этого раздела.
Утверждение 6.11. Множество Жюлиа $J(f)$ — это замыкание отталкивающих периодических точек полинома $f$. Оно несчетно, компактно, не содержит изолированных точек и инвариантно для $f$ и $f^{-1}$. Если $z \in J(f)$, то $J(f)$ — это замыкание $\bigcup_{k=1}^{\infty} f^{-k}(z)$. Множество Жюлиа — это граница бассейна притяжения каждой притягивающей неподвижной точки $f$, включая $\infty$, и $J(f)=J\left(f^{p}\right)$ для каждого положительного целого р.
Доказательство следует из $J(f)=J_{0}(f)$.
Можно обнаружить и более существенные свойства динамики $f$ на множестве Жюлиа, например, что $f$ действует хаотически на $J$ (см. п. 6.2). Действительно, периодические точки $f$ плотны в $J$, по определению. С другой стороны, $J$ содержит точки $z$ с итерациями $f^{k}(z)$, которые плотны в $J$. Более того, $f$ имеет чувствительную зависимость от начальных условий на $J:\left|f^{k}(z)-f^{k}(\omega)\right|$ будет большим для некоторого $k$ при близких $z$ и $\omega \in J$.