Вспомним, что если $U$ – любое непустое подмножество $n$-мерного евклидового пространства $R^{n}$, то диаметр $U$ определяется как $|U|=\sup \{|x-y|: x, y \in U\}$, т.е. наибольшее расстояние между любой парой точек в $U$. Если $\left\{U_{i}\right\}$ счетный (или конечный) набор открытых множеств диаметра, не большего $\delta$, который покрывает $F$, т.е. $F \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} U_{i}$ с $0<\left|U_{i}\right| \leq \delta$ для каждого $i$, мы говорим, что $\left\{U_{i}\right\}$ является $\delta$-покрытием $F$.

Предположим, что $F$ – подмножество $R^{n}$ и $s$ – неотрицательное число. Для любого $\delta>0$ мы определяем
\[
H_{\delta}^{S}(F)=\inf \left\{\sum_{i=1}^{\infty}\left|U_{i}\right|^{S}:\left\{U_{i}\right\} .-\delta \text {-покрытие } F\right\} .
\]

Таким образом, мы смотрим все покрытия $F$ множествами наибольшего диаметра $\delta$ и отыскиваем минимальную сумму $s$-х степеней диаметров. Когда $\delta$ уменьшается, класс допустимых покрытий $F$ в (12.1) уменьшается. Поэтому $\inf H_{\delta}^{S}(F)$ возрастает и таким образом достигает предела, когда $\delta \rightarrow 0$. Запишем
\[
H^{S}(F)=\lim _{\delta \rightarrow 0} H_{\delta}^{S}(F) .
\]

Этот предел существует для любого подмножества $F$ из $R^{n}$, хотя предельное значение может быть (и обычно есть) 0 или $\infty$. Назовем $H^{s}(F)$ s-мерной хаусдорфовой мерой $F$.
Можно доказать, хотя и с определенными трудностями, что $H^{S}$ действительно является мерой. В частности, $H^{s}(0)=0$. Если $E$ содержится в $F$, тогда $H^{S}(E) \leq H^{S}(F)$, а если $\left\{F_{i}\right\}$ – любой счетный набор непересекающихся борелевых множеств, тогда
\[
H^{s}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty} H^{S}\left(F_{i}\right) .
\]

Хаусдорфовы меры обобщают близкие идеи длины, площади, объема и т.д. Можно показать, что для подмножеств $R^{n}, n$-мерная хаусдорфова мера является, с точностью до постоянной составляющей, просто $n$-мерной мерой Лебега, т.е. обычным $n$-мерным объемом. Более точно, если $F$ является борелевым подмножеством $R^{n}$, тогда
\[
H^{n}(F)=c_{n} v^{n}(F) \text {, }
\]

где постоянная $c_{n}$ является объемом $n$-мерного шара диаметра 1. Индекс $n$ означает $n$-мерный объем: vol\”. Аналогично, для «хороиих» маломерных подмножеств из $R^{n}$ мы имеем, что $H^{0}(F)$ – число точек в $F ; H^{1}(F)$ дает длину гладкой кривой $F ; H^{2}(F)=(4 / \pi) \times \operatorname{area}(F)$, если $F$ – гладкая поверхность; $H^{3}(F)=(6 / \pi) \times \operatorname{vol}(F)$; и $H^{m}(F)=c_{m} \times \operatorname{vol}^{m}(F)$, если $F$ – гладкое $m$-мерное подмногообразие $R^{n}$ (то есть $m$-мерная поверхность в классическом смысле).

Масштабные свойства длины, площади и объема хорошо известны. При растяжении в $\lambda$ раз длина кривой умножается на $\lambda$, площадь плоской области умножается на $\lambda^{2}$, а объем 3-мерного объекта умножается на $\lambda^{3}$. Как можно было бы предвидеть, $s$-мерная хаусдорфова мера изменяет масштаб с коэффициентом $\lambda^{S}$. Такие масштабные свойства являются фундаментальными для теории фракталов.

Масштабное свойство: Если $F \subset R^{n} u \lambda>0$, тогда
\[
H^{S}(\lambda F)=\lambda^{S} H^{S}(F) \text {, }
\]

где $\lambda F=\{\lambda x: x \in F\}$, m.е. множество $F$ маситабируется с коэффициентом $\lambda$.

Доказательство. Если $\left\{U_{i}\right\}$ является $\delta$-покрытием $F$, тогда $\left\{\lambda U_{i}\right\}$ является $\lambda \delta$-покрытием $\lambda F$. Следовательно, $\quad H_{\lambda \delta}^{S}(\lambda F) \leq \sum\left|\lambda U_{i}\right|^{S}=$ $=\lambda^{S} \sum\left|U_{i}\right|^{S} \leq \lambda^{S} H_{\delta}^{S}(F)$, так как это справедливо для любого $\delta$-покрытия $\left\{U_{i}\right\}$. Переход $\delta \rightarrow 0$ дает $H^{S}(\lambda F) \leq \lambda^{S} H^{S}(F)$. Замена $\lambda$ на 1 и $F$ на $\lambda F$ дает неравенство, противоположное требуемому.

Подобный факт дает следующую основную оценку на хаусдорфовы меры множеств при действии более общих преобразований.

Утверждение 12.1. Пусть $F \subset R^{n}$ иотображение $f: F \rightarrow R^{m}$ такое, что
\[
|f(x)-f(y)| \leq c|x-y|^{\alpha} \quad(x, y \in F)
\]

для постоянных с $>0$ и $\alpha>0$. Тогда для каждого $s$
\[
H^{S / a}(f(F)) \leq c^{S / a} H^{S}(F) .
\]

Доказательство. Если $\left\{U_{i}\right\} \quad \delta$-покрытие $\mathrm{F}$, тогда, так как $\left|f\left(F \cap U_{i}\right)\right| \leq c\left|U_{i}\right|^{\alpha}$, то $\left\{f\left(F \cap U_{i}\right)\right\}$ является $\varepsilon$-покрытием $f(F)$, где $\varepsilon=c \delta^{\alpha} . \quad$ Таким образом, $\quad \sum_{i} \mid f\left(\left.F \cap U_{i}\right|^{S / \alpha} \leq c^{S / \alpha} \sum_{i}\left|U_{i}\right|^{S}, \quad\right.$ так что $H_{\varepsilon}^{S / \alpha}(f(F)) \leq c^{S / \alpha} H_{\delta}^{S}(F)$. Когда $\delta \rightarrow 0$, то $\varepsilon \rightarrow 0$, давая (12.7).

Условие (12.6) известно как условие Гельдера с показателем $\alpha$, такое условие предполагает, что $f$ непрерывна. Особенно важным является случай $\alpha=1$, т.е.
\[
|f(x)-f(y)| \leq c|x-y| \quad(x, y \in F) .
\]

Тогда $f$ называется отображением Липиица и
\[
H^{s}(f(E)) \leq c^{s} H^{s}(F) .
\]

Любая дифференцируемая функция с ограниченной производной обязательно является липшицевой по теореме о среднем значении. Если $f$ является изометрией, то есть $|f(x)-f(y)|=|x-y|$, тогда $H^{s}(f(F))=H^{s}(F)$. В частности, хаусдорфовы меры инвариантны относительно переноса (то есть $H^{s}(F+z)=H^{s}(F)$, где $\left.F+z=\{x+z: x \in F\}\right)$, и инвариантны относительно вращения, как конечно можно было бы ожидать.