Возвращаясь к формуле (12.1), становится понятно, что для любого данного множества $F$ и $\delta<1 H_{\delta}^{\varepsilon}(F)$ является невозрастающей с $s$, так что, согласно (12.2), $H^{S}(F)$ также невозрастающая. Фактически верно следующее: если $t>s$ и $\left\{U_{i}\right\}-\delta$-покрытие $F$, имеем:
\[
\sum_{i}\left|U_{i}\right|^{t} \leq \delta^{t-s} \sum_{i}\left|U_{i}\right|^{s}
\]

так что, переходя к точным верхним граням, получаем $H_{\delta}^{t} \leq \delta^{t-s} H_{\delta}^{s}(F)$. Когда $\delta \rightarrow 0$, то если $H^{s}(F)<\infty$, тогда $H^{\prime}(F)=0$ для $t>s$. Таким образом, график $H^{s}(F)$ от $s$ (рис. 12.1) показывает, что существует критическое значение $s$, при котором $H^{s}(F)$ «прыгает» от $\infty$ до 0 . Это критическое значение называется хаусдорфовой размерностью $F$ и записывается $\operatorname{dim}_{H} F$. (Заметим, что некоторые авторы ссылаются на хаусдорфову размерность как на размерность Хаусдорфа-Безиковича). Формально
\[
\operatorname{dim}_{H} F=\inf \left\{s: H^{s}(F)=0\right\}=\sup \left\{s: H^{s}(F)=\infty\right\},
\]

так что
\[
H^{s}(F)=\left\{\begin{array}{ll}
\infty, & \text { если } s<\operatorname{dim}_{H} F \\
0, & \text { если } s>\operatorname{dim}_{H} F .
\end{array}\right.
\]

Если $s=\operatorname{dim}_{H} F$, тогда $H^{s}(F)$ может быть нуль или бесконечность, или может удовлетворять неравенству $0<H^{s}(F)<\infty$.

Борелевское множество, удовлетворяющее последнему условию, называется $s$-множеством. Математически $s$-множества являются наиболее удобными множествами для изучения, и, к счастью, они встречаются удивительно часто.

Рассмотрим простой пример. Пусть $F$ – плоский диск единичного радиуса в $R^{3}$. Из сходных свойств длины, площади и объема следует: $H^{1}(F)=$ length $(F)=\infty, 0<H^{2}(F)=(4 / \pi) \times \operatorname{area}(F)<\infty$ и $H^{3}(F)=(6 / \pi) \times \operatorname{vol}(F)=0$. Таким образом, $\operatorname{dim}_{H} F=2$ с $H^{s}(F)=\infty$, если $s<2$, и $H^{s}(F)=0$, если $s>2$.

Хаусдорфова размерность удовлетворяет следующим свойствам (которые, как можно было бы ожидать, будут справедливы для любого подходящего определения размерности).
12.2.1. Открытые множества

Если $F \subset R^{n}$ открытое, тогда $\operatorname{dim}_{H} F=n$, так как $F$ содержит шар положительного $n$-мерного объема.

Рис. 12.1
12.2.2. Гладкие множества

Если $F$ гладкое (т.е. непрерывно дифференцируемое) $m$-мерное подмногообразие (т.е. $m$-мерная поверхность) из $R^{n}$, тогда $\operatorname{dim}_{H} F=m$. В частности, гладкие кривые имеют размерность 1 , а гладкие поверхности имеют размерность 2. Существенно, что это может быть выведено из соотношения между хаусдорфовой и лебеговой мерами.
12.2.3. Монотонность

Если $E \subset F$, тогда $\operatorname{dim}_{H} E \leq \operatorname{dim}_{H} F$. Это непосредственно следует из свойства меры, ибо $H^{s}(E) \leq H^{s}(F)$ для каждого $s$.

12.2.4. Счетная устойчивость

Если $F_{1}, F_{2}, \ldots$ – (счетная) последовательность множеств, тогда $\operatorname{dim}_{H} \bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i}=\sup _{1 \leq<<\infty}\left\{\operatorname{dim}_{H} F_{i}\right\}$. Конечно, $\operatorname{dim}_{H} \bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i} \geq \operatorname{dim}_{H} F_{i}$ для каждого $i$ из свойства монотонности. С другой стороны, если $s>\operatorname{dim}_{H} F_{i}$ для всех $i$, тогда $H^{s}\left(F_{i}\right)=0$, так что $H^{s}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i}\right)=0$. Это дает противоположное неравенство.
12.2.5. Счетные множества

Если $F$ счетное множество, тогда $\operatorname{dim}_{H} F=0$. Если $F_{i}$ единственная точка, $H^{0}\left(F_{i}\right)=1$ и $\operatorname{dim}_{H} F_{i}=0$, так что по счетной устойчивости $\operatorname{dim}_{H} \bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i}=0$.

Свойства преобразования хаусдорфовой размерности следуют непосредственно из соответствующих свойств хаусдорфовых мер, данных в утверждении 12.1 .

Утверждение 12.2. Пусть $F \subset R^{n}$ и допустим, что $f: F \rightarrow R^{m}$ удовлетворяет условию Гельдера: $|f(x)-f(y)| \leq c|x-y|^{\alpha} \quad(x, y \in F)$. Тогда $\operatorname{dim}_{H} f(F) \leq(1 / \alpha) \operatorname{dim}_{H} F$.

Доказательство. Если $s>\operatorname{dim}_{H} F$, тогда, по утверждению 12.1, $H^{s / \alpha}(f(F)) \leq c^{s / \alpha} H^{s}(F)=0$. Это означает, что $\operatorname{dim}_{H} f(F) \leq(s / \alpha)$ для всех $s>\operatorname{dim}_{H} F$.

Следствие 12.1.
(a) Если $f: F \rightarrow R^{m}$ – липииево преобразование (см. (12.8)), тогда $\operatorname{dim}_{H} f(F) \leq \operatorname{dim}_{H} F$.

(b) Если $f: F \rightarrow R^{m}$ би-липиичево преобразование, т.е.:
\[
c_{1}|x-y| \leq|f(x)-f(y)| \leq c_{2}|x-y| \quad(x, y \in F),
\]

где $0<c_{1} \leq \mathcal{c}_{2}<\infty$, тогда $\operatorname{dim}_{H} f(F)=\operatorname{dim}_{H} F$.

Доказательство. Пункт (а) следует из утверждения 12.2, если взять $\alpha=1$. Применение этого пункта к обратному преобразованию $f^{-1}: f(F) \rightarrow F$ дает другое неравенство. Это доказывает пункт (b).

Следствие 12.1 обнаруживает фундаментальное свойство хаусдорфовой размерности: Хаусдорфова размерность инвариантна относительно би-липиицевого преобразования. Таким образом, если два множества имеют разные размерности, то не может быть би-липшицева отображения из одного множества в другое. Это напоминает ситуацию в топологии, где различные «инварианты» (такие как группы гомологии или гомотопии) используются для различия множеств, которые не являются гомеоморфными: если топологические инварианты двух множеств различны, тогда не может быть гомеоморфизма (непрерывного взаимнооднозначного отображения с непрерывным обратным) между этими множествами.

В топологии два множества рассматриваются как «одинаковые», если существует гомеоморфизм между ними. Один из подходов к фрактальной геометрии – рассматривать два множества как «одинаковые», если существует би-липиицево отображение между ними. Топологические инварианты используются лишь для различения между негомеоморфными множествами. Однако мы можем найти другие параметры, включая хаусдорфову размерность, чтобы провести различия между множествами, которые не являются би-липшицево эквивалентными. Так как би-липшицевы преобразования (12.13) обязательно непрерывны, то топологические инварианты могут использоваться в этом направлении, а хаусдорфова размерность (и другие определения размерности) дает более тонкие инварианты для различения фракталов.

Вообще сама по себе размерность множества мало говорит нам о его топологических свойствах. Однако любое множество размерности меньше 1 обязательно является вполне несвязным; т.е. никакие две его точки не лежат в одной и той же связной компоненте.

Утверждение 12.3. Множество $F \subset R^{1} c \operatorname{dim}_{H} F<1$ полностью несвязно.
Доказательство. Пусть х и у различные точки из $F$. Определим отображение $f: R^{1} \rightarrow[0, \infty)$ как $f(z)=|z-x|$. Так как $\mathrm{f}$ не увеличивает расстояния, т.е. $|f(z)-f(w)| \leq|z-w|$, мы имеем из следствия $1(a)$, что $\operatorname{dim}_{H} f(F) \leq \operatorname{dim}_{H} F<1$. Таким образом, $f(F)$ – подмножество из $\mathrm{R}$ меры $\mathrm{H}^{1}$ или длины нуль и, таким образом, имеет плотное дополнение. Выбирая $r$ такое, что $r
otin f(F)$ и $0<r<f(y)$, получаем $F=\{z \in F:|z-x|<r\} \cup\{z \in F:|z-x|>r\}$. Таким образом, $F$ содержится в двух разъединенных открытых множествах с $x$ в одном множестве и $y$ в другом, так что $x$ и $y$ лежат в различных связных компонентах $F$.