Гиперкомплексные числа имеют вид (см., например, [24])
\[
z=\sum_{k=0}^{n} a_{k} i_{k},
\]

где $a_{k}$ — произвольные действительные числа ( $a_{k} \in R^{1}$ ), а $i_{k}$ — некоторые символы, которые называют «мнимыми единицами». Иногда говорят, что имеется $n+1$-мерное пространство с базисом $1, i_{1}, \ldots, i_{n}$ над полем вещественных чисел $R^{1}$. Над выражениями (9.1) будем производить действия сложения (вычитания) по формулам $\sum_{k=0}^{n} a_{k} i_{k}+\sum_{k=0}^{n} b_{k} i_{k}=\sum\left(a_{k}+b_{k}\right) i_{k}$. Для определения «умножения» необходимо задать «таблицу умножения», т. е. указать, чему равны всевозможные произведения $i_{k} i_{l}, k, l=1,2, \ldots, n$. Задание разных «таблиц умножения» приводит к разным системам гиперкомплексных чисел. Например, в случае комплексных чисел, когда $n=1$, таблица умножения сводится к единственному равенству $i \cdot i=-1+0 \cdot i$. В случае $n=3$ определим таблицу умножения следующим образом:
\[
\left\{i_{k} i_{j}\right\}=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & i_{3} & -i_{2} \\
-i_{3} & -1 & i_{1} \\
i_{2} & -i_{1} & -1
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, $i_{k} i_{k}=-1$ и умножение некоммутативно. Введем обозначение $i_{1}=i, i_{2}=j, i_{3}=k$. Тогда из (9.2) следует $i^{2}=j^{2}=k^{2}=i \cdot j \cdot k=-1$. В этом случае гиперкомплексные числа
\[
q=a+b i+c j+d k, \quad a, b, c, d \in R^{1},
\]

называются кватернионами. Соотношение (9.3) можно представить в виде
\[
q=u+v j, \quad u=a+b i, v=c+d i, u, v \in \boldsymbol{C} .
\]

Здесь через $\boldsymbol{C}$ обозначено пространство комплексных чисел. Через $H^{4}$ будем обозначать пространство кватернионов. Для любого $q \in H^{4}$ (также как и в пространстве $\boldsymbol{C}$ ) можно определить сопряженный кватернион: $\bar{q}=a-b i-c j-d k$. По аналогии с комплексными числами число $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=|q|$ называется модулем кватерниона $q$. Справедливы следующие соотношения $|q|=q \bar{q}=|u|^{2}+|v|^{2}$. Наконец, гиперкомплексная система кватернионов — это система с делением.

Гиперкомплексные системы и, в частности, кватернионы хорошо известны алгебраистам. Здесь мы будем использовать гиперкомплексную систему при рассмотрении «динамической задачи» об отображениях, обобщающих известное отображение Жюлиа.