В этой части мы построим динамические системы, орбиты которых содержат симметрию группы Пикарда Г и обсудим автоматическое построение соответствующих цветных мозаик, следуя [23].

Пусть $Г$ — группа дробно-линейных преобразований в $H^3$, определяемых как
$$w=\gamma z=\frac{az+b}{cz+d},$$

где $w,z\in H,\gamma \in \mathrm{\Gamma },a,b,c,d\in Z+Zi=Z^2$ и $ad-bc=1$ (здесь через $Z$ обозначено пространство целых чисел). В (9.12) $a,b,c,d-$ комплексные числа, у которых как действительные, так и мнимые частицелые числа. $\mathrm{\Gamma }$ называется группой Пикарда. Она содержит хорошо известную модулярную группу ${\mathrm{\Gamma }}_1$ как собственную подгруппу.
Мы ограничим наше обсуждение отображением
$$z_{k+1}=F\left(z_k\right),z_k\in H^3,k=0,1,2,\dots \dots ,$$

где $H^3=\{z\in {\mathrm{R}}^3:z=(x,y,p),p>0\}$ или в терминах кватернионов ${\mathrm{H}}^3=\{z\in {\mathrm{H}}^4:z=x+y\mathrm{i}+p\mathrm{j},p>0\}$. Орбита отображения $F$ определяется как счетная последовательность точек $z_0,z_1,z_2,\dots$. Необходимые и достаточные условия того, чтобы орбита отображения $F$ обладала симметрией группы $\mathrm{\Gamma }$, заключаются в том, что $F$ коммутирует с $\mathrm{\Gamma }$ (или Г -эквивариантно), то есть
$$F\circ \gamma =\gamma \circ F$$

для всех $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$. Поэтому достаточно только проверить, удовлетворяют ли образующие группы $Г$ условию (9.13). В общем, $F(z)$ может не лежать в $H$.

9.3.1. Конструирование Г -эквивариантных функций.

Для создания мозаик (паттернов) с симметрией группы Г мы выберем $F$ из условия (9.13), следуя [23]:
$$F(z)=z+f(x,y),z=x+yi+\sqrt{1-x^2-y^2}j,0\le x\le \frac{1}{2},0\le y\le \frac{1}{2},$$

где $f(x,y)=f_1(x,y)+f_2(x,y)i+f_3(x,y)j$,
$$\begin{array}{l}{f}_1(x,y)=g_1(x)h_1(x,y),f_2(x,y)=g_2(x)h_2(x,y),\\ g_n(0)=g_n(1/2)=0,h_n(n=1,2)-\text{ произвольные функции. }\\ F(z)=z+g_1(x)h_1+g_2(x)h_{2}i+\\ (\sqrt{1-{(x+g_1(x)h_1)}^2-{(y+g_2(y)h_2)}^2-g_1(x)g_2(y)h_3}-\sqrt{1-x^2-y^2})j\end{array}$$

В [23] доказано, что если выбрать $F(z)$ в виде:
$$\mathrm{F}(\mathrm{z})=\left\{\begin{array}{cc}F(\mathrm{Pr}(z))+M(z),& z\in U_1\\ {\gamma }^{-1}F(\gamma z),& zotin{U}_1,\gamma z\in U\end{array}\right\},$$

где $\mathrm{Pr}(z)=x+yi+\sqrt{1-x^2-y^2}j,M(z)=l(|z|)[m(z)+\eta m(\gamma z)]$, $l(z)=1-\frac{1}{|z{|}^2}$, то $F(z)$ будет эквивариантным отображением в $H^3$. Здесь $m(z)$ — произвольная периодическая по $x$ и $y$ функция с периодом 1.

В качестве примера определим отображение $F(z)$, выбрав функции
$$\begin{array}{c}{g}_n(x)=0.2\sin (2\pi x)h_n(x,y)=0.2\sin (2\pi (x+y)),n=1,2\\ h_3(x,y)=0.5\sin (2\pi (x+y))=0.2\cos (2\pi y),\\ m(z)=\sin (2\pi x)\sin (2\pi y)+\sin (2\pi x)i+\sin (2\pi r)j.\end{array}$$

9.3.2. Определение цвета

Введем гиперболическое расстояние между точками орбиты $\left\{z_k\right\},k=0,1,2,\dots ,z_k\in H^3$.Пусть $z=x+yi+pj$ и $z^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }i+p^{\prime }j$.

В качестве расстояния между этими точками примем величину
$$\rho (z,z^{\prime })=\frac{{(x-x^{\prime })}^2+{(y-y^{\prime })}^2+p^2+p^{\prime 2}}{2p{p}^{\prime }}.$$

Для орбиты определим значение
$${\rho }^k=\rho (F^{(k-1)}\left(z_0\right),F^{(k)}\left(z_0\right)).$$

Для заданных $k\in Z^{+}$и $c\in R^{+}$вычислим ${\rho }_c^k=\left[c{\rho }^k\left(z_0\right)\right]$. Это значение используется для определения цвета точки $z_0$.

Используя определенное выше отображение $F(z)$ и полагая $k=7$ и $c=100$ в [23] были получены мозаики, представленные на рис. 9.12-9.15 ${}^1$.
(b)
Рис. 9.12. Область $|x|\le 0.92,|y|\le 1,(a)0<r<1;(b)0<r\le 0.25$
1 Эти рисунки были построены К.Н. Крамковым с помощью программы, представленной в [23].

Рис. 9.13. Область
$|x|\le 0.92,|y|\le 1.2,(a)0<r<1;(b)0<r\le 0.25$.

Рис. 9.15. Область $x^2+y^2+r^2\le 1,r>0$; (b) $x\ge -0.2$