В этой части мы построим динамические системы, орбиты которых содержат симметрию группы Пикарда Г и обсудим автоматическое построение соответствующих цветных мозаик, следуя [23].

Пусть $Г$ — группа дробно-линейных преобразований в $H^{3}$, определяемых как
\[
w=\gamma z=\frac{a z+b}{c z+d},
\]

где $w, z \in H, \quad \gamma \in \Gamma, \quad a, b, c, d \in Z+Z i=Z^{2}$ и $\quad a d-b c=1$ (здесь через $Z$ обозначено пространство целых чисел). В (9.12) $a, b, c, d-$ комплексные числа, у которых как действительные, так и мнимые частицелые числа. $\Gamma$ называется группой Пикарда. Она содержит хорошо известную модулярную группу $\Gamma_{1}$ как собственную подгруппу.
Мы ограничим наше обсуждение отображением
\[
z_{k+1}=F\left(z_{k}\right), \quad z_{k} \in H^{3}, k=0,1,2, \ldots \ldots,
\]

где $H^{3}=\left\{z \in \mathrm{R}^{3}: z=(x, y, p), p>0\right\}$ или в терминах кватернионов $\mathrm{H}^{3}=\left\{z \in \mathrm{H}^{4}: z=x+y \mathrm{i}+p \mathrm{j}, p>0\right\}$. Орбита отображения $F$ определяется как счетная последовательность точек $z_{0}, z_{1}, z_{2}, \ldots$. Необходимые и достаточные условия того, чтобы орбита отображения $F$ обладала симметрией группы $\Gamma$, заключаются в том, что $F$ коммутирует с $\Gamma$ (или Г -эквивариантно), то есть
\[
F \circ \gamma=\gamma \circ F
\]

для всех $\gamma \in \Gamma$. Поэтому достаточно только проверить, удовлетворяют ли образующие группы $Г$ условию (9.13). В общем, $F(z)$ может не лежать в $H$.

9.3.1. Конструирование Г -эквивариантных функций.

Для создания мозаик (паттернов) с симметрией группы Г мы выберем $F$ из условия (9.13), следуя [23]:
\[
F(z)=z+f(x, y), \quad z=x+y i+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} j, \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2},
\]

где $f(x, y)=f_{1}(x, y)+f_{2}(x, y) i+f_{3}(x, y) j$,
\[
\begin{array}{l}
f_{1}(x, y)=g_{1}(x) h_{1}(x, y), \quad f_{2}(x, y)=g_{2}(x) h_{2}(x, y), \\
g_{n}(0)=g_{n}(1 / 2)=0, \quad h_{n}(n=1,2)-\text { произвольные функции. } \\
F(z)=z+g_{1}(x) h_{1}+g_{2}(x) h_{2} i+ \\
\left(\sqrt{1-\left(x+g_{1}(x) h_{1}\right)^{2}-\left(y+g_{2}(y) h_{2}\right)^{2}-g_{1}(x) g_{2}(y) h_{3}}-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right) j
\end{array}
\]

В [23] доказано, что если выбрать $F(z)$ в виде:
\[
\mathrm{F}(\mathrm{z})=\left\{\begin{array}{cc}
F(\operatorname{Pr}(z))+M(z), & z \in U_{1} \\
\gamma^{-1} F(\gamma z), & z
otin U_{1}, \gamma z \in U
\end{array}\right\},
\]

где $\operatorname{Pr}(z)=x+y i+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} j, \quad M(z)=l(|z|)[m(z)+\eta m(\gamma z)]$, $l(z)=1-\frac{1}{|z|^{2}}$, то $F(z)$ будет эквивариантным отображением в $H^{3}$. Здесь $m(z)$ — произвольная периодическая по $x$ и $y$ функция с периодом 1.

В качестве примера определим отображение $F(z)$, выбрав функции
\[
\begin{array}{c}
g_{n}(x)=0.2 \sin (2 \pi x) \quad h_{n}(x, y)=0.2 \sin (2 \pi(x+y)), n=1,2 \\
h_{3}(x, y)=0.5 \sin (2 \pi(x+y))=0.2 \cos (2 \pi y), \\
m(z)=\sin (2 \pi x) \sin (2 \pi y)+\sin (2 \pi x) i+\sin (2 \pi r) j .
\end{array}
\]

9.3.2. Определение цвета

Введем гиперболическое расстояние между точками орбиты $\left\{z_{k}\right\}, k=0,1,2, \ldots, \quad z_{k} \in H^{3}$.Пусть $z=x+y i+p j$ и $z^{\prime}=x^{\prime}+y^{\prime} i+p^{\prime} j$.

В качестве расстояния между этими точками примем величину
\[
\rho\left(z, z^{\prime}\right)=\frac{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+p^{2}+p^{\prime 2}}{2 p p^{\prime}} .
\]

Для орбиты определим значение
\[
\rho^{k}=\rho\left(F^{(k-1)}\left(z_{0}\right), F^{(k)}\left(z_{0}\right)\right) .
\]

Для заданных $k \in Z^{+}$и $c \in R^{+}$вычислим $\rho_{c}^{k}=\left[c \rho^{k}\left(z_{0}\right)\right]$. Это значение используется для определения цвета точки $z_{0}$.

Используя определенное выше отображение $F(z)$ и полагая $k=7$ и $c=100$ в [23] были получены мозаики, представленные на рис. 9.12-9.15 ${ }^{1}$.
(b)
Рис. 9.12. Область $|x| \leq 0.92,|y| \leq 1,(a) 0<r<1 ;(b) 0<r \leq 0.25$
1 Эти рисунки были построены К.Н. Крамковым с помощью программы, представленной в [23].

Рис. 9.13. Область
$|x| \leq 0.92,|y| \leq 1.2,(a) 0<r<1 ;(b) 0<r \leq 0.25$.

Рис. 9.15. Область $x^{2}+y^{2}+r^{2} \leq 1, r>0$; (b) $x \geq-0.2$