Теперь мы можем рассмотреть более общую процедуру (алгоритм) построения подобных фракталов. Предполагаем, что основа состоит из $\boldsymbol{u}$ отрезков, а фрагмент из $\boldsymbol{v}$ отрезков. Вершины для основы и фрагмента должны быть явно заданы.

На рис. 2.10 точка $O$ является началом координат, т. е. имеет координаты $(0,0)$, точка $E$ имеет координаты $(1,0)$. Рассмотрим точки $P_{1}(0.4,0.2), P_{2}(0.6,-0.2)$. Тогда $O P_{1}=P_{1} P_{2}=P_{2} E=1 / \sqrt{5}$.
Рис. 2.10. Фрагмент в декартовой системе координат
В качестве основы возьмем, например, квадрат с вершинами $(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)$. Тогда $u=4, v=3$; вершины основы: $(1,1)$, $(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)$; вершины фрагмента: $(0.4,0.2),(0.6,-0.2)$. Зададим также порядок аппроксимации $p$. Тогда из отрезка $O E$ образуется ломаная с $v^{p}-1$ вершинами.

Для вычисления координат вершин используется преобразование подобия
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\left(x_{2}-x_{1}\right) x-\left(y_{2}-y_{1}\right) y+x_{1} \\
y^{\prime}=\left(y_{2}-y_{1}\right) x+\left(x_{2}-x_{1}\right) y+y_{1}
\end{array} .\right.
\]

Рис. 2.11. Преобразование подобия
При этом $O(0,0) \rightarrow O^{\prime}\left(x_{1}, y_{1}\right), E(1,0) \rightarrow E^{\prime}\left(x_{2}, y_{2}\right), P(x, y) \rightarrow$ $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$.

Подробнее о таких преобразованиях будем говорить позже, в главе 4.
2.5.1. Варианты
Рис. 2.12. Фрактальный остров

с промежуточными точками
$(0.4,0.2),(0.6,-0.2)$.
\[
u=4, v=3, p=6 \text {. }
\]

Результат представлен на рис. 2.12.
2) Основа:
квадрат с вершинами $( \pm 1, \pm 1)$.
Фрагмент:
Рис. 2.13. Остров Минковского
Рис. 2.14. Остров фьордов
квадрат с вершинами $( \pm 1, \pm 1)$.

Фрагмент:

с промежуточными точками
$(0.3,0.3),(0.7,-0.3)$.
$u=4, v=3, p=6$.
Результат можно увидеть на рис. 2.14.
4) Основа:
квадрат с вершинами $( \pm 1, \pm 1)$.
Фрагмент:
с промежуточными точками $(0.47,0),(0.5,0.47)$, $(0.53,0)$.
$u=4, v=4, p=5$.
Результат представлен на рис. 2.15.
Рис. 2.15. Резаный квадрат
Рис. 2.16. Ледовый квадрат

5) Основа:
Фрагмент:
с промежуточными
точками $(0.5,0)$,
$(0.5,0.33),(0.5,0)$.
$u=4, v=4, p=6$.
Результат показан на рис. 2.16.
6) Основа:
Рис. 2.17. Ледовый треугольник
равносторонний треугольник с вершинами $(0,0),(0.5,0.85),(0,1)$.
Фрагмент:
с промежуточными точками $(0.5,0),(0.375,0.2165),(0.5,0)$, $(0.625,0.2165),(0.5,0)$.
$u=3, v=6, p=5$.
Результат представлен на рис. 2.17.

7) Фрактал Леви.
Возьмем в качестве фрагмента половину квадрата, т. е. отрезок заменяем половиной квадрата.
Основа:
отрезок.
Фрагмент:
с промежуточной точкой $(0.5,0.5)$. $u=1, v=2, p=13$.
\[
\mathrm{p}=3
\]

Результат представлен на рис. 2.19.
Предел кривой при $p \rightarrow \infty$
Рис. 2 18. Последовательные приближения фрактала Леви называется кривой Леви. На рис. 2.19 $p=3$ показано приближение кривой Леви при $p=13$. Французский математик Том Леви ( 1886 – 1971) был одним из первых ученых, которые исследовали фрактальные кривые. Если в качестве основы взять квадрат, то получим фигуру, представленную на рис. 2.20 ( $p=13$ ).

Кривую Леви можно анализировать так же, как и кривую Коха. Положение $2^{p}$ отрезков $p$-го приближения определяется двоичным разложением: индекс $n$ отдельного отрезка, считая от начала, записывается в двоичном виде
\[
n=t_{0}+t_{1} * 2+t_{2} * 2^{2}+\cdots+t_{p-1} * 2^{p-1} .
\]

Далее вычисляем сумму $S$ всех двоичных цифр:
\[
S=t_{0}+t_{1}+\cdots+t_{p-1} .
\]

Направление $n$-го отрезка будет $\varphi=\frac{S \pi}{2}$ (по часовой стрелке).

Рис. 2.19. Фрактал Леви

Рис. 2.20. Ковер Леви