Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891 – 1961) во время второй мировой войны, используя для этого обычную чертежную линейку.
Рис. 3.4. Дерево Пифагора
Пример Пифагорова дерева дан на рис. 3.4 ( $p=12$ ). Если мы пронумеруем квадраты, как на рис. 3.5 , то обнаружим, что квадрат с индексом $n$ «держит на себе» равнобедренный треугольник, от которого произрастают два более мелких квадрата. Квадраты слева имеют индекс $2 n$, справа – ( $2 n+1)$. Вместе прямоугольный треугольник, два квадрата на его катетах и квадрат на гипотенузе дают геометрическое представление теоремы Пифагора. Если площадь первоначального квадрата равна единице, то общая площадь квадратов 2 и 3 также будет единица. То же самое получим для каждого следующего уровня. Тогда квадраты с номерами $8,9,10,11,12,13,14,15$ имеют общую площадь ту же, что и основной квадрат.
Рис. 3.5. Первые стадии построения дерева Пифагора
Позицию квадрата, например с номером 13, можем получить, используя двоичное представление $13=1101$. Читая цифры слева направо и пренебрегая самой левой позицией, получаем: 1 (вправо), 0 (влево), 1 (вправо). Итак, построение пифагорова дерева связано с двоичной системой счисления. Этот факт удобно использовать при его построении.

3.2.1. Склонившееся (спиральное) дерево Пифагора

Как обобщение стандартного дерева Пифагора, Босман предложил строить склонившееся дерево Пифагора. Схема построения такого дерева показана на рис. 3.6. Фигура образуется добавлением на каждом шаге справа квадрата.

Завиток фигуры – это логарифмическая (ломаная) спираль, которая определяется преобразованием подобия $R$.

Преобразование подобия $R$ – это поворот на угол $\alpha$, комбинируемый с уменьшением масштаба в $\cos \alpha$ раз. Можно рассматривать преобразование подобия $L$, действующее слева: поворот на угол $\pi / 2-\alpha$ в комбинации с уменьшением масштаба в $\sin \alpha$ раз. Тогда получим дерево, которое показано на рис. 3.7, где $\alpha=\pi / 6$ (30 ${ }^{\circ}$ [3].

Рис. 3.6. Логарифмическая спираль в склонившемся дереве Пифагора
Можно упростить дерево Пифагора, отбросив квадраты и рисуя только отрезки, которые соединяют «центры» треугольников. Сами треугольники не рисуются. В результате получим обнаженное дерево (первые стадии построения показаны на рис. 3.8(a), а 10-я стадия – на рис. 3.8(б) $(p=14))$.

Рис. 3.7. Склонившееся дерево Пифагора ( $p=14$ )
Рис. 3.8. Обнаженное дерево Пифагора

В книге Мандельброта [1] есть и другие варианты дерева Пифагора.

Одна из версий, основанная на стволе, показанном на рис. 3.9, приведена на рис. $3.10(p=11)$.
Рис. 3.9. Ствол дерева Мандельброта
Рис. 3.10. Дерево Мандельброта
Мандельброт построил и реалистичное фрактальное дерево (рис. 3.12), основанное на модели, показанной на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Модель реалистичного дерева

Рис. 3.12. Реалистичное дерево $(p=11)$