Фракталы Жюлиа (множества Жюлиа $J(a, b)$ ) можно разделить на два основных класса: 1) связные и 2) вполне несвязные. Во втором случае фрактал состоит из несчетного множества дискретных точек. Классический пример подобного множества – точечное множество Кантора на отрезке $[0,1]$.

Если же фрактал связный, то он состоит из набора линий, иногда – из единственной замкнутой кривой, иногда – это петли внутри петель, внутри петель и т. д., иногда-это дендрит.
Рис. 7.6. Фрактал Мандельброта и множества Жюлиа для указанных точек из множества Мандельброта.

Для фракталов Жюлиа $J(a, b)$ тип зависит от значений параметров $a$ и $b$. Мандельброт нашел множество параметров на плоскости $(a, b)$, для которого фрактал Жюлиа связный. Ключ к построению такого множества дал Жюлиа: надо проверить орбиту, выходящую из начальной точки $x_{0}=a, y_{0}=b$. Если эта орбита уходит на бесконечность, то $J(a, b)$ – несвязный, подобно пыли Кантора. Это дает алгоритм для построения «бифуркационного» множества. Все точки на плоскости $(a, b)$, для которых $J(a, b)$ – связное множество, составляют, так называемое множество Мандельброта. На рис. 7.6 множество Мандельброта – это точки, расположенные в черной области. Это множество симметрично относительно оси $a$. Граница множества Мандельброта представляет собой фрактал Мандельброта, в чем легко убедиться, увеличивая его отдельные фрагменты. Множество Мандельброта напоминает конгломерат фруктов или овощей; иногда его называют «картофельным человеком». Часть, по форме похожая на почку, ограничена кривой, похожей на сердце. Сглаженная (круговая) часть на самом деле является окружностью с центром $(-1,0)$ и радиусом $1 / 4$. Вокруг нее лежит ряд маленьких и крошечных кругов. Более подробные картины показывают, что это явление повторяется при уменьшении масштаба.

На оси $a$ множество Мандельброта описывается одномерным отображением вида (7.4), (7.5). Для такого отображения мы установили явление удвоения периода Фейгенбаума с универсальным масштабированием. Это явление для отображения (7.5) характеризуется бифуркационными значениями $\alpha=3 ; 3.4495 ; 3.5441 ; 3.5644 ; 3.5688 ; \ldots ; 3.5699$. Для отображения (7.4), соответственно, имеем: $a=-0.7500 ;-1.2500 ;-1.3681$; $-1.3940 ;-1.3996 ; \ldots ;-1.4012$. Эти значения соответствуют точкам касания круговых областей, диаметры которых уменьшаются, и их уменьшение определяется постоянной Фейгенбаума. Можно найти подобные области вокруг больших кругов.

Изучая отображение (7.5), мы установили, что для $\alpha \approx 3.83$ существует 3 -цикл. Для фигуры Мандельброта это соответствует островам с $a=-1.75, b=0$. При более детальном рассмотрении эти острова оказываются «континентом» в миниатюре. Мы также можем увидеть подобные острова в окрестности значения, $a=-0.12, b= \pm 0.74$. Они, в свою очередь, соответствуют устойчивому 3 -циклу отображения Жюлиа (7.1).

На рис. 7.6 показаны множества Жюлиа для выделенных точек в множестве Мандельброта.