В 1904 году математик Кох дал пример кривой, которая нигде не имеет касательной. Представьте кривую, состоящую из частей, каждая из которых бесконечной длины. Рис. 2.2 ( $p=5$ ) является хорошим приближением кривой Коха. Построение кривой Коха похоже на построение точек множества Кантора. Начинаем с отрезка-основы: удаляем его среднюю третью часть и заменяем ее сторонами равностороннего треугольника (см. рис. 2.3).
Рис. 2.2. Кривая Коха

Мысленно мы можем представить кривую Коха как предел таких операций. Если основа имеет длину 1 , то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждый длины $1 / 3$ и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую общую длину 16/9 или $(4 / 3)^{2}$ и т.д. Т.к. на каждом шаге
\[
\frac{\lg 4}{\lg 3}=\frac{\lg 4^{2}}{\lg 3^{2}}=\cdots
\]

то можно применить формулу (2.4). Тогда фрактальная размерность
\[
D=\frac{\lg 4}{\lg 3}=1.26 \ldots
\]

Рис.2.3. Последовательные приближения кпивой Коха

Кривая Коха самоподобна: каждая часть является миниатюрной копией целого. Можно попробовать самим написать программу построения кривой Коха для случаев, когда основа — отрезок или многоугольник. Для облегчения этого задания дадим анализ построения кривой Коха.

Фиксируем степень приближения $p$. Это означает, что мы будем применять «р» преобразований к «основе». Если основа — это отрезок, то результатом будет ломаная линия, состоящая из $4^{p}$ отрезков равной длины $3^{-p}$. Будем нумеровать отрезки от 0 до $4^{p}-1$ включительно. Для каждого шага (соответствующего индексу $n$ ) должен нарисоваться отрезок, точнее говоря, вектор. Направление вектора определяется следующим образом.

Запишем индекс $n$ отрезка в четверичной системе. Например, для отрезка с номером 482 ломаной линии порядка 5 ( $p=5$ ) мы получим: $482=1 * 256+3 * 64+2 * 16+0 * 4+2$, т. е. 482 равно 13202 в четверичной системе. Каждое из четырех возможных направлений (на самом деле можно говорить о двух) определяется числом, как показано на рис. 2.4. Тогда мы найдем направление отрезка с $n=482$ :
\[
\Phi=\frac{\pi}{3}+0+\left(-\frac{\pi}{3}\right)+0+\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{3} .
\]

Общая формула имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
n=t_{0}+t_{1} 4+t_{2} 4^{2}+\cdots+t_{p-1} 4^{p-1} \\
\Phi=a\left(t_{0}\right)+a\left(t_{1}\right)+a\left(t_{2}\right)+\cdots+a\left(t_{p-1}\right)
\end{array}
\]

Рис. 2.4. Фрагмент фрактала Коха

В нашем примере $a(0)=a(3)=0, a(1)=\pi / 3, a(2)=-\pi / 3$.
На рис. 2.5 показано, как отрезок с $n=482$ получается из первоначальной основы. Здесь мы пренебрегли масштабом. Удобнее использовать для $n$ в формуле (2.9) не целые числа, а четверичные дроби, имеющие $p$ цифр после запятой. Для этого достаточно поделить номер на $4^{p}\left(\frac{482}{4^{5}}=\frac{482}{1024}=0.13202\right)$. Если $p \rightarrow \infty$, то длина каждого отрезка стремится к нулю, то есть отрезок превращается в точку. Тогда кривая Коха является образом единичного отрезка $[0,1]$.

Рис. 2.5. Фрактал Коха и четверичная система счисления