СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А.В.Болсинов
А.В.Борисов
И.С.Мамаев
И.А.Тайманов
Д.В.Трещев
Вышли в свет:
П.И.Голод, А.У.Климык. Математические основы теории симметрии М.Громов. Гиперболические группы
М.Громов. Знак и геометрический смысл кривизны Дж.Д.Мур. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена Дж.Милнор. Голоморфная динамика И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Э.Столнии, Т.ДеРоуз, Д.Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике К.Кассел, М.Россо, В.Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов Ж.П.Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории А.Д.Морозов. Введение в теорию фракталов
Готовятся к печати:
О.В.Богопольский. Введение в теорию групп С.П.Новиков. Топология Я.Песин. Теория размерности
А.И.Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования изотропных многообразий

А.Д. Морозов

ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ФРАКТАЛОВ
Издание второе, дополненное
Москва $\cdot$ Ижевск
2002

УдК 510:514
ББК В 16
М 79

Морозов А.Д.
Введение в теорию фракталов. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 стр.

Книга посвящена основам теории фракталов и состоит из двух частей и приложения. В первой части рассматриваются конструктивные фракталы, во второй – динамические, а в приложении приводится вспомогательный материал.

Конструктивные фракталы строятся с помощью достаточно простой рекурсивной процедуры, имеют «тонкую» структуру, т.е. содержат произвольно малые масштабы, и обладают самоподобием. Подобные фрактальные множества слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке. Рассматриваются многочисленные примеры конструктивных фракталов (Кантора, Коха, Минковского, Серпинского, Леви и др.). Проводится их анализ на основе линейных преобразований и вычисления фрактальной размерности. Изложение сопровождается историческими справками.

Вторая часть посвящена фракталам, которые возникают в дискретных нелинейных динамических системах. Это множества, хаусдорфова (или фрактальная) размерность которых больше топологической размерности. К ним относятся одномерные комплексные эндоморфизмы, рассмотренные Жюлиа и Фату в начале 20 века. В книге приводятся основы современной теории подобных эндоморфизмов. Изложение иллюстрируется на примере фракталов Жюлиа, Мандельброта, Ньютона. В книгу включены новые результаты по гиперкомплексной динамике.

В приложении приводится вспомогательный математический материал из теории множеств, обсуждается определение линии, даются основы теории размерности и, прежде всего, хаусдорфовой размерности.

Книга может быть использована как учебное пособие по фракталам и ориентирована прежде всего на студентов физико-математических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.

ISBN 5-93972-172-9
ББК В16
(С) А. Д. Морозов, 2002
(с) Институт компьютерных исследований, 2002