В настоящее время, благодаря публикациям Мандельброта, фракталам уделяется много внимания. Его книга «Фрактальная геометрия природы» [1] с прекрасными иллюстрациями, историческими анекдотами и т. д. насыщена богатой информацией по этому предмету. Эта работа имела большой успех. Эксперимент Льюиса Ричардсона (1881 – 1953), одного эксцентричного метеоролога, возможно, и убедил Мандельброта сделать фракталы делом своей жизни.
(единица измерения)
Рис. 2.1. Результат эксперимента Ричардсона

В работе Ричардсона, опубликованной после его смерти, Мандельброт в 1961 году обнаружил формулу для определения длины $S$ западного Британского побережья и испано-португальской границы. Ричардсон заметил, что результаты сильно зависят от масштаба, который используется на карте. Карта с масштабом $1: 10000000$ (1см – 100 км) менее подробная, чем, например, туристическая карта с масштабом $1: 100000$ (1 см – 1 км). Нетрудно убедиться, что на туристической карте побережье становится длиннее.

Этот же феномен можно обнаружить, используя одну карту, но применяя каждый раз все более и более мелкие единицы измерения.

Полученные Ричардсоном значения лежат вблизи прямой линии (см. рис. 2.1). Тогда
\[
\lg S \approx-0.22 \lg a+\lg S_{1},
\]

где $S$ – длина побережья, $S_{1}$ – длина, при измерении которой использовались единицы измерения в 1 км. Число 0.22 определяет угол наклона прямой. Из (2.1) находим:
\[
S=S_{1} a^{-0.22} \quad \text { или } \quad S=S_{1}\left(\frac{1}{a}\right)^{0.22} .
\]

Поэтому, если, скажем, «а» уменьшается в 32 раза, то $S$ увеличивается приблизительно вдвое. Теоретически, если $a \rightarrow 0$, то $S \rightarrow \infty$. Но тогда западное побережье Британии имеет бесконечную длину? Это на самом деле было бы так, если бы при каждом уменьшении масштаба были видны новые изгибы береговой линии. В действительности этого нет.

Было бы лучше определить криволинейность такой границы степенью ее изгибания, т. е. некоторым числом. Мандельброт добавил 1 к показателю степени во второй формуле (2.2) (минус угол наклона прямой на рис. 2.1) и получил число $D$, которое он назвал «фрактальной размерностью» побережья (границы).