Кантор (1845-1918) явился одним из основателей теории множеств (основы современной теории множеств приведены в главе 9). Он также придумал один из старейших фракталов (1883). Построение этого фрактала показано на рис. 1.6.

Из исходного отрезка единичной длины выбрасывается интервал $(1 / 3,2 / 3)$. Далее из каждого оставшегося отрезка выбрасываем средние трети и т. д. В пределе получим фрактал Кантора (на Западе подобные множества называют иногда пылью Кантора).

После трех шагов будет $2^{3}=8$ отрезков, и каждый имеет длину $3^{-3}=1 / 27$. После $n$ шагов получим $2^{n}$ отрезков, каждый длины $3^{-n}$. Общая длина оставшихся отрезков равна (2/3) ${ }^{n}$. Она стремится к нулю, когда $n \rightarrow \infty$. Это означает, что множество Кантора имеет меру Лебега (то есть, грубо говоря, общую длину), равную нулю, и нулевую топологическую размерность. Далее мы узнаем, что есть другое определение размерности, в соответствии с которым множество Кантора имеет размерность $0.6309 \ldots$. Эта размерность – дробное (нецелое) число. Отсюда возник и термин – «фрактальная размерность».
Рис. 1.6. Конструкция фрактала Кантора
На рис. 1.7 показана конструкция множества Кантора в виде гребня.
Рис. 1.7. Гребень Кантора
1.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора

Так как отрезки делятся на три части, то будем использовать троичную систему. Мы имеем дело с числами от 0 до 1 , поэтому арифметический метод представления фрактала Кантора включает разложение дробей вида
\[
a=\frac{c_{1}}{3}+\frac{c_{2}}{9}+\frac{c_{3}}{27}+\frac{c_{4}}{81}+\cdots \quad \text { или } \quad a=0 . c_{1} c_{2} c_{3} c_{4} \cdots,
\]

где $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ могут быть числа $0,1,2$. Например,
\[
\begin{array}{l}
0.3=3 / 10=0.0220 \\
0.5=1 / 2=0.1 \\
0.8=4 / 5=0.2101
\end{array}
\]

Подчеркивание означает, что данная группа цифр должна повторяться.

Построение начинается с отрезка [0,1]. Отмечается одна треть отрезка в середине (то есть все члены, имеющие троичную дробь, начинающуюся с единицы). На следующем шаге мы делаем то же для второго положения точки (рис. 1.6) и т. д. В итоге выбрасываем все числа, которые имеют 1 в их разложении, как троичной дроби.

Диаграмма (рис. 1.6) показывает, что многие числа исчезают на первом шаге, например число 0.5 (десятичное). Число 0.8 исчезает на втором шаге, так как $0.8=0.2101$. Число $0.3=0.0220$ никогда не исчезает. Таким образом, множество Кантора можно определить как множество всех чисел между нулем и единицей, которые можно записать в троичной системе, используя лишь «0» и «2». Числа «0» и «1» также включаются, ибо $1=0.2$ (в троичном виде: $1 \approx 0.2222 \ldots$, подобно $1 \approx 0.9999 \ldots$ в десятичной системе).