Следуя, например, [5], рассмотрим некоторое множество (совокупность) элементов какой-либо природы. Обозначим его через $A$, а его элементы через $a: A=\{a\}$.

Запись $a \in A$ означает, что $a$ является элементом множества $A$, $a
otin A$ означает, что $a$ не является элементом множества $A$.

Определение 10.1: Пусть $A$, $B$ – два множества. Если каждый элемент $B$ входит также в $A$, то говорят, что $B$ – подмножество $A$ и обозначают: $B \in A$.

Например, $A=N$ (множество натуральных чисел), $B=\{2 n\}$ $(n \in N)$.
Определение 10.2: Равными называют одинаковые множества: $A=B$ (все элементы $A$ совпадают с элементами $B$ ).

Пример множества: множество вещественных корней алгебраического уравнения. Однако такие уравнения могут не иметь вещественных корней, поэтому вводят понятие пустого множества: $A=\emptyset$. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение 10.3: Суммой двух множеств $A$ и В называется множество $A \cup B$, которое состоит из всех элементов, входящих, по крайней мере, в одно из множеств А или B.

Определение обобщается для произвольного числа множеств: $\bigcup_{a} A_{\alpha}$.

Определение 10.4: Разностью (дополнением к множеству B) $A \backslash B$ называется подмножество множества $A$, не входящее в $B$.
Определение 10.5: Пересечением двух множеств $A$ и В называется множество (обозначаемое $A \cap B$ ), состоящее из всех элементов, которые входят и в $A$, и в $B$.
Очевидно: $A \backslash B=A \backslash(A \cap B)$.
Если $B \in A$, то $(A \backslash B) \cup B=A$.
Дистрибутивность: $\left(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}\right) \cap B=\bigcup_{a}\left(A_{\alpha} \cap B\right)$.
10.0.1. Мощность множества

Конечные множества можно легко сравнить между собой, например, с помощью подсчета. Пример: сравнить число студентов, пришедших в аудиторию, с числом стульев.
Определение 10.6: Пусть даны два множества А и В. Говорят, что между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, по которому каждому элементу $a \in A$ соответствует один элемент $b \in B$, называемьй образом элемента «а», причем выполнены следующие два условия:
a) любые два элемента из А имеют различные образы;
b) любой элемент из $B$ является образом некоторого элемента из $A$.

Определение 10.7: Два множества А и В называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается $A \sim B$ ), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Очевидно, два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного числа элементов.
10.0.2. Примеры эквивалентных множеств
1. Множество $N$ всех натуральных чисел и множество $N_{1}$ всех целых отрицательных чисел $(n \rightarrow-n)$.
2. Множество $N$ и множество $P$ всех положительных четных целых чисел: $\forall n \in N \rightarrow 2 n \in P \rightarrow N \sim P, P \in N, P
eq N$.
3. Множество $E$ всех вещественных чисел и множество I всех вещественных чисел из интервала $(-\pi / 2, \pi / 2)$ $(y=\operatorname{tg} x, x \in I, y \in E)$.
4. Пусть $\Delta K L M$ – треугольник произвольной формы, а $A$ и $B$ – множества всех точек на сторонах $K L$ и $K M$ соответственно.
Рис. 10.3
Справедливы свойства:
1. Если $A \sim B, B \sim C$, то $A \sim C$.

2. Если множество $A=\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}$, причем слагаемые $A_{\alpha}$ попарно не имеют общих элементов, а множество $B=\bigcup_{\alpha} B_{a}$ и слагаемые $B_{\alpha}$ также попарно не имеют общих элементов, и если $A_{\alpha} \sim B_{\alpha}$ при каждом $\alpha$, то $A \sim B$.