Определение 10.20: Множество $F \in R^{n}$ называется замкнутым, если, какова бы ни была сходяцаяся к пределу последовательность точек $x^{(m)} \in F$, ее предел входит в $F$.
Замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

Определение 10.21: Пусть $A$ – произвольное множество точек из $R^{n}$. Точка $x \in$ н называется внутренней точкой множества $A$, если при некотором $\varepsilon>0$ окрестность $S(x, \varepsilon) \in A$.

Определение 10.22: Множество $G \in R^{n}$ называется открытым, если все его точки внутренние.

Все пространство $R^{n}$ – открытое множество; пустое множество $\varnothing$ также причисляется к открытым.

Теорема 10.9: Для того, чтобы множество $G \in R^{n}$ было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение $F=R^{n} \mid G$ было замкнутым.
Определение 10.23: Пусть $A \in R^{n}$. Совокупность В открытых множеств $G_{\alpha} \in R^{n}$ называется покрытием множества $A$, если любая точка $x \in A$ входит, по крайней мере, в одно из $G_{\alpha} \in B$.

Теорема 10.10 (Бореля-Лебега): Из всякого покрытия В ограниченного замкнутого множества $F \in R^{n}$ можно выделить конечное покрытие, т.е. конечное число множеств $G_{\alpha} \in B$, также образующих покрытие множества $F$.
Определение 10.24: Множество $A \in R^{n}$ называется борелевым, если оно принадлежит $\sigma$-алгебре, порожденной совокупностью всех замкнутых множеств из $\mathrm{R}^{\mathrm{n}}$.

Совокупность всех борелевых множеств из $R^{n}$ обозначим через $B$. Тогда любое замкнутое множество $F \in B$ по определению; каждое открытое множество $G \in B$.