Определение 10.20: Множество $F\in R^n$ называется замкнутым, если, какова бы ни была сходяцаяся к пределу последовательность точек $x^{(m)}\in F$, ее предел входит в $F$.
Замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

Определение 10.21: Пусть $A$ — произвольное множество точек из $R^n$. Точка $x\in$ н называется внутренней точкой множества $A$, если при некотором $\epsilon >0$ окрестность $S(x,\epsilon )\in A$.

Определение 10.22: Множество $G\in R^n$ называется открытым, если все его точки внутренние.

Все пространство $R^n$ — открытое множество; пустое множество $\varnothing$ также причисляется к открытым.

Теорема 10.9: Для того, чтобы множество $G\in R^n$ было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение $F=R^n\mid G$ было замкнутым.
Определение 10.23: Пусть $A\in R^n$. Совокупность В открытых множеств $G_{\alpha }\in R^n$ называется покрытием множества $A$, если любая точка $x\in A$ входит, по крайней мере, в одно из $G_{\alpha }\in B$.

Теорема 10.10 (Бореля-Лебега): Из всякого покрытия В ограниченного замкнутого множества $F\in R^n$ можно выделить конечное покрытие, т.е. конечное число множеств $G_{\alpha }\in B$, также образующих покрытие множества $F$.
Определение 10.24: Множество $A\in R^n$ называется борелевым, если оно принадлежит $\sigma$-алгебре, порожденной совокупностью всех замкнутых множеств из ${\mathrm{R}}^{\mathrm{n}}$.

Совокупность всех борелевых множеств из $R^n$ обозначим через $B$. Тогда любое замкнутое множество $F\in B$ по определению; каждое открытое множество $G\in B$.