В этом разделе показывается, как вычислить хаусдорфову размерность некоторых простых фракталов.

Пример 12.1
Пусть $F$ – пыль Кантора, полученная из единичного квадрата, как на рис. 12.2 (на каждой стадии конструирования квадраты делятся на 16 квадратов с длиной стороны $1 / 4$, из которых остается одинаковый образец из четырех квадратов). Тогда $1 \leq H^{1}(F) \leq \sqrt{2}$, так что $\operatorname{dim}_{H} F=1$.

Вычисление. Возьмем очевидное покрытие $F 4^{k}$ квадратами со стороной $4^{-k}$ (т.е. диаметра $\delta=4^{-k} \sqrt{2}$ ) на $E_{k}, k$-й стадии конструирования. Получаем оценку $H_{\delta}^{1}(F) \leq 4^{k} 4^{-k} \sqrt{2}$ для точной нижней грани в (12.1). Когда $k \rightarrow \infty$, то $\delta \rightarrow 0$, давая $H^{1}(F) \leq \sqrt{2}$.

Для оценки снизу обозначим через proj ортогональную проекцию на ось $x$. Ортогональная проекция не увеличивает расстояний, т.е. $\mid$ proj $x-$ proj $y|\leq| x-y \mid$. Следовательно, если $x, y \in R^{2}$, то proj является отображением Липшица. Благодаря конструкции $F$, проекция «тени» $F$ на ось $x, \operatorname{proj} F$, это единичный отрезок $[0,1]$. Используя (12.9), получаем $1=$ length $[0,1]=H^{1}([0,1])=H^{1}(\operatorname{proj} F) \leq H^{1}(F)$. Заметим, что такие же доводы и результат справедливы для множества, полученного повторяющимся делением квадратов на $m^{2}$ квадратов со стороной длины $1 / m$, из которых в каждом столбце остается один квадрат.

Этот трюк с использованием ортогональной проекции для получения оценки снизу хаусдорфовой меры работает только в особых обстоятельствах и не является основой более общего метода. Обычно дело обстоит сложнее.

Пример 12.2
Пусть $F$ – фрактал Кантора ( $F=\bigcap_{k=0}^{\infty} E_{k}$, см. рис. 12.3). Если $s=\lg 2 / \lg 3 \approx 0.6309 \ldots$, тогда $\operatorname{dim}_{H} F=s$ и $1 / 2 \leq H^{s}(F) \leq 1$.

Эвристическое вычисление. Множество Кантора $F$ делится на левую $F_{L}=F \cap[0,1 / 3]$ и правую $F_{R}=F \bigcap[2 / 3,1]$ части. Ясно, что обе части геометрически похожи на $F$, но масштабированы на $1 / 3$, и $F=F \cup F_{R}$ с этим разрывом в объединении. Таким образом, для любого $s$
\[
H^{s}(F)=H^{s}\left(F_{L}\right)+H^{s}\left(F_{R}\right)=(1 / 3)^{s} H^{s}(F)+(1 / 3)^{s} H^{s}(F)
\]

по масштабному свойству хаусдорфовых мер. Предполагая, что при критическом значении $s=\operatorname{dim}_{H} F$, мы имеем $0<H^{s}(F)<\infty$ (сильное допущение, но оно может быть оправдано), следовательно, можем поделить на $H^{s}(F)$, чтобы получить $1=2(1 / 3)^{s}$ или $s=\lg 2 / \lg 3$.

Рис. 12.3. Конструкция фрактала Кантора

Строгое вычисление. Назовем интервалы длины $3^{-k}(k=0,1,2, \ldots)$, которые дают множества $E_{k}$ при конструировании $F$, основными интервалами. Покрытие $\left\{U_{i}\right\} F$, состоящее из $2^{k}$ интервалов $E_{k}$ длины $3^{-k}$ дает, что $H_{3^{-k}}^{s}(F) \leq \sum\left|U_{i}\right|^{s}=2^{k} 3^{-k s}=1$, если $s=\lg 2 / \lg 3$. Полагая $k \rightarrow \infty$, получаем $H^{s}(F) \leq 1 / 2$.
Чтобы доказать, что $H^{s}(F) \geq 1 / 2$, мы покажем, что
\[
\sum\left|U_{i}\right|^{s} \geq 1 / 2=3^{-s}
\]

для любого покрытия $\left\{U_{i}\right\} F$. Ясно, что если $\left\{U_{i}\right\}$ конечный набор замкнутых подынтервалов из $[0,1]$, то, используя компактность $F$, нам нужно только проверить (12.14). Для каждого $U_{i}$ пусть $k$ – целое, такое, что
\[
3^{-(k+1)} \leq\left|U_{i}\right|<3^{-k} .
\]

Тогда $U_{i}$ может пересечь самое большее один из основных интервалов $E_{k}$, так как расстояние между этими основными интервалами, по крайней меpe, $3^{-k}$. Если $j \geq k$, тогда, по построению, $U_{i}$ пересекает самое большее $2^{j-k}=2^{j} 3^{-3 k} \leq 2^{j} 3^{s}\left|U_{i}\right|^{s}$ основных интервалов $E_{i}$. Если мы выбираем $j$ достаточно большим, так что $3^{-(j+1)} \leq\left|U_{i}\right|$ для всех $U_{i,}$ то, поскольку $\left\{U_{i}\right\}$ пересекает все $2^{j}$ основных интервалов длины $3^{-j}$, подсчет интервалов дает $2^{j} \leq \sum_{i} 2^{j} 3^{s}\left|U_{i}\right|^{s}$. Это доказывает (12.14).
С достаточной долей усилий можно показать, что $H^{s}(F)=1$.
«Эвристический» метод вычисления, использованный в примере 12.2, дает правильный ответ относительно размерности многих самоподобных множеств. Например, кривая Коха, делается из четырех копий самой себя с масштабом $1 / 3$ и, следовательно, ее размерность $\lg 4 / \lg 3$. Вообще, если $F=\bigcup_{i=1}^{m} F_{i}$, где каждое $F_{i}$ геометрически подобно $F$, но масштабировано с коэффициентом $c_{i}$, то при условии, что $F_{i}$ не перекрываются «слииком сильно», эвристический метод дает $\operatorname{dim}_{H} F$ как число $s$, удовлетворяющее $\sum_{i=1}^{m} c_{i}^{s}=1$.