Определение 10.15: Точка $x \in R^{n}$ называется пределом последовательности точек $x^{(m)} \in R^{n}\left(x^{(m)} \rightarrow x\right.$ или $\left.x=\lim _{m \rightarrow \infty} x^{(m)}\right)$, если $\rho\left(x^{(m)}, x\right) \rightarrow 0 \quad$ при $m \rightarrow \infty$.

Из формулы $\rho\left(x^{(m)}, x\right)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{(m)}-x_{i}\right)^{2}}$ ясно, что соотношение $x^{(m)} \rightarrow x$ равносильно одновременному выполнению соотношения $x_{i}^{(m)} \rightarrow x_{i}$ при всех $i=1,2, \ldots$

Т. е. сходимость последовательности точек из $R^{n}$ означает сходимость по координатам.
Определение 10.16: Открытым иаром $S\left(x^{(0)}, \varepsilon\right)$ с центром в точке $x^{(0)} \in$ $R^{n}$ и радиусом $\varepsilon>0$ называется совокупность всех точек $x \in R^{n}$, для которых $\rho\left(x, x^{(0)}\right)<\varepsilon$. Всякий открытый иар с центром $x^{(0)}$ называется окрестностью точки $x^{(0)}$ (или є-окрестностью).
Пусть $A \in R^{n}$ (произвольное множество из $R^{n}$ ).

Определение 10.17: Точка $x \in R^{n}$ называется предельной точкой или точкой суущения множества $A$, если суцествует такая последовательность почек $x^{(m)} \in A,\left(x^{(m)}
eq x\right)$, что $x^{(m)} \rightarrow x$.

Определение 10.18: Если $x \in A\left(A \in R^{n}\right)$ и не является его предельной точкой, то х называется изолированной точкой множества $A$.

Теорема 10.7: Для того чтобы точка $x \in R^{n}$ была предельной точкой множества $A$, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность точки х содержала, по крайней мере, одну точку $y \in A$, отличную от $x$.
Определение 10.19: Множество $A \in R^{n}$ называется ограниченным, если координаты всех точек $x \in A$ ограничены в совокупности. (Это равносильно требованию, чтобы А содержалось в некотором иаре.)

Теорема 10.8: Всякое бесконечное ограниченное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку (которая может и не принадлежать $A$ ).