Определение 11.1: Линия – это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
\[
F(x, y)=0 .
\]

Здесь обычно предполагают непрерывность функции $\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ в соответствующей области изменения аргументов.
Это – неудачное определение, ибо ему удовлетворяет всякое замкнутое подмножество плоскости.
Определение 11.2 (параметризация): Линия – это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям
\[
x=\varphi(t), \quad y=\psi(t),
\]

где $\varphi, \psi$ – непрерывные и дифференируемые на отрезке $a \leq t \leq b$ функции.
Это не топологическое определение.
Одну из попыток топологического определения линии предпринял Жордано в 1882 г.
Определение 11.3: Линия – это непрерывный образ отрезка.
В случае плоскости это определение совпадает с (11.2), но при этом $\varphi, \psi-$ произвольные непрерывные функции. Это определение переносится на любое топологическое пространство.

Определение 11.4 (топологического пространства): Пусть во множестве $X$ произвольной природы указана совокупность $\tau=\left\{U_{j}\right\}$ подмножеств, обладающая следующими свойствами:
1) $\varnothing, \mathrm{X} \subset \tau$;
2) объединение любой совокупности множеств из $\tau$ принадлежит $\tau$;
3) пересечение любого конечного числа множеств из $\tau$ принадлежит $\tau$.

Совокупность подмножеств $\tau$ называется топологией в $X$, а множество $X$ в этом случае называется топологическим пространством.
Пример: $X$ – числовая прямая $R^{1}$.
Топология задается следующим набором множеств: $\varnothing$, всевозможные интервалы и их объединения $U=\bigcup_{\alpha}\left(a_{\alpha}, b_{a}\right)$.

Определение 11.5: Множество точек топологического пространства, являющееся непрерывным образом отрезка, называется жордановой кривой.

Удар по этому определению был нанесен в 1890 г. итальянским математиком Пеано, который построил непрерывное отображение отрезка на квадрат – так называемую кривую Пеано.
Рис. 11.1. Последовательные приближения кривой Пеано

В настоящее время жордановы кривые, то есть непрерывные образы отрезка, называются пеановскими континуумами.

Из существования кривой Пеано вытекает возможность отобразить отрезок на куб конечного числа измерений.

Теорема 11.1 (Хана-Мазуркевича): Пеановские континуумы это в точности локально связные континуумы.