Итак, рассмотрим преобразование поворота на угол $\alpha$ (против часовой стрелки) без растяжения (сжатия). Оно имеет вид:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \cos \alpha-y \sin \alpha \\
y^{\prime}=x \sin \alpha+y \cos \alpha
\end{array}\right.
\]

Якобиан $\Delta$ этого преобразования, очевидно, равен 1.
Формула (4.5) определяет поворот относительно начала координат. Отображение, описывающее поворот относительно произвольной точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, записывается в виде:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\left(x-x_{0}\right) \cos \alpha-\left(y-y_{0}\right) \sin \alpha+x_{0} \\
y^{\prime}=\left(x-x_{0}\right) \sin \alpha+\left(y-y_{0}\right) \cos \alpha+y_{0}
\end{array}\right.
\]

Точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ – неподвижная точка – центр вращения.
Для примера рассмотрим два поворота: $L$ – поворот влево относительно точки $A(0,0)$ с углом врацения $\pi / 6$ и $R$ – поворот вправо относитсльно точки $B(1,0)$ с углом вращсния $\pi / 3$. В рсзультатс для отрсзка $A B$ на рис. 4.2 получим:
$R L(A B)=A_{2} B_{2}$, так как $L(A B)=A B_{1}, R\left(A B_{1}\right)=A_{2} B_{2} ;$
$L R(A B)=A_{1} B_{1}$, так как $R(A B)=A_{2} B, L\left(A_{2} B\right)=A_{1} B_{1}$.

Заметим, что $A_{1} B_{1}$ и $A_{2} B_{2}$ параллельны и повернуты относительно $A B$ на $\pi / 6+\pi / 3=\pi / 2 \quad\left(90^{\circ}\right)$.
Формально имеем
\[
L:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=(\sqrt{3} x-y) / 2 \\
y^{\prime}=(x+\sqrt{3} y) / 2
\end{array} \quad R:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=(x-\sqrt{3} y+1) / 2 \\
y^{\prime}=(\sqrt{3} x+y-\sqrt{3}) / 2
\end{array}\right.\right.
\]

Рис. 4.2. Сочетание двух вращений
Поэтому получаем
\[
R L:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=-y+1 / 2 \\
y^{\prime}=x-\sqrt{3} / 2
\end{array} \quad L R:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=-y+\sqrt{3} / 2 \\
y^{\prime}=x-1 / 2
\end{array}\right.\right.
\]

Следовательно, $R L$ и $L R$ являются поворотом на $90^{\circ}$. Положения центров вращения для $R L$ и $L R$ соответственно равны $\left(\frac{1+\sqrt{3}}{4}, \frac{1-\sqrt{3}}{4}\right) ;\left(\frac{1+\sqrt{3}}{4}, \frac{-1+\sqrt{3}}{4}\right)$.