Рассмотрим нелинейное уравнение:
\[
f(x)=0 .
\]

Нас будут интересовать не только вещественные, но и комплексные корни уравнения. Поэтому вместо $x$ будем писать $z$. Воспользовавшись алгоритмом Ньютона решения нелинейных уравнений, получаем
\[
z_{n+1}=z_{n}-f\left(z_{n}\right)^{\prime} f^{\prime}\left(z_{n}\right), \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Если удачно выбрать начальное приближение $z_{0}$, то с помощью формулы (8.1) найдем быстро сходящуюся к корню последовательность $\left\{z_{n}\right\}$. Если $f(z)$ – полином, то (8.1) определяет рациональный эндоморфизм. В качестве примера рассмотрим случай $f=z^{k}-a, k \geq 1$ – целое число. Тогда формула (8.1) примет вид:
\[
z_{n+1}=\frac{(k-1) z_{n}^{k}+a}{k\left(z_{n}^{k-1}\right)}, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Выбирая какое-либо начальное приближение, мы найдем корень $k$-й степени из числа $a$. Как известно, рассматриваемое уравнение имеет $k$ корней
\[
z_{j+1}=\sqrt[k]{a}(\cos (2 j \pi / k)+i \sin (2 j \pi / k)), \quad j=0,1, \ldots, k-1,
\]

расположенных на окружности радиуса $\sqrt[k]{a}$ и отстоящих друг от друга на угол $2 \pi / k$.

Заметим, что вычисление $\sqrt{a}$ в компьютерах основано на формуле (8.2) с начальным приближением $z_{0}=a$ и $k=2$. Корни уравнения $z^{k}-$ $a=0$ являются устойчивыми неподвижными точками отображения (8.2). Основная проблема в применении метода Ньютона связана с выбором начального приближения. Она будет решена, если мы укажем области притяжения неподвижных точек отображения (8.2). Для этого попытаемся построить границу, разделяющую области притяжения различных корней. Оказывается, «граница» имеет фрактальную структуру. Оценив «иирину» фрактальной зоны, мы тем самым определим области притяжения различных неподвижных точек отображения (различных корней уравнения). Покажем это на примере $k=3, a=1$. Отображение (8.2) принимает вид:
\[
z_{n+1}=\frac{2 z_{n}^{3}+1}{3\left(z_{n}^{2}\right)}, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Полагая $z=x+i y$ и разделяя вещественную и мнимую части, придем к двумерному вещественному отображению:
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=\frac{2}{3} x_{n}+\frac{x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}{3\left(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\right)^{2}}, \\
y_{n+1}=\frac{2}{3} y_{n}\left(\left(1-\frac{x_{n}}{\left(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\right)^{2}}\right)\right) .
\end{array}
\]

Далее, воспользовавшись программой «Fractals», получаем фрактал, представленный на рисунке 8.1. На рисунке 8.2 показан фрактал для случая $k=4, a=1$, а на рисунке 8.3 – для случая $k=5, a=1$.
Рис 8.1. Фрактал Ньютона при $k=3, a=1$

Рис. 8. 2. Фрактал Ньютона при $k=4, a=1$

Рис. 8.3. Фрактал Ньютона при $k=5, a=1$