В предыдущей части, где мы рассматривали конструктивные фракталы, было показано, что в основе их построения лежат линейные двумерные отображения. В последнем параграфе первой части мы познакомились с нелинейным одномерным отображением, которое является простейшей моделью ограниченного роста популяции. Было установлено, что поведение итераций $x_{n+1}=a x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ может иметь хаотический характер (например, при $a=4$ ). Здесь мы пойдем дальше и рассмотрим некоторые классы двумерных нелинейных отображений, которые относятся к дискретным динамическим системам. Наша цель – показать, что в таких отображениях могут существовать фрактальные структуры или фракталы. Анализ нелинейных динамических систем сопряжен, как правило, со значительными трудностями, и мы это увидим на примере простейших нелинейных отображений, которые можно представить в виде одномерного комплексного отображения. Такие отображения наиболее изучены. Их исследование связано с именами Жюлиа [8], Фату [9], Монтеля [11], Сулливана [12] и др.

Одномерные комплексные отображения порождают наиболее популярные в последние годы фракталы Жюлиа, Мандельброта, Ньютона и др. Этот раздел фрактальной теории, по сути, стал классическим, и мы изложим его основы в этой части. В главе 9 мы рассмотрим обобщение фракталов Жюлиа на трехмерное гиперпространство, являющееся подпространством пространства кватернионов.

Аттракторы Жюлиа и Ньютона являются отталкивающими (неустойчивым) множествами. Для обратных отображений имеем аттрактор. Эти отображения индуцируют на аттракторе хаотические отображения. Точное доказательство хаотичности подобных отображений имеется лишь в некоторых случаях наборов линейных или кусочнолинейных преобразований (систем итерированных функций [18]).