В 1918 году Гастон Жюлиа написал подробный «мемуар» в несколько сотен страниц, который был награжден призом Французской Академии. «Этот труд написан на высоком уровне, но … едва ли можно найти в нем какие-то изображения» [3]. Работа Жюлиа игнорировалась в течение почти полувека, однако теперь она оказалась в центре внимания. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено во времена Жюлиа. Визуальные результаты превзошли все ожидания (см., например, [4], [7]).

В работе Жюлиа рассматриваются итерации отображения вида: $x \rightarrow f(x, y), y \rightarrow g(x, y)$, которые сохраняют углы, то есть конформные преобразования. Наиболее изученным примером отображений такого вида является отображение (6.4), которое после разделения вещественной и мнимой частей запишется в виде ( $z=x+i y, c=a+i b)$ :
\[
\begin{array}{c}
x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+a \\
y_{n+1}=2 x_{n} y_{n}+b
\end{array}, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Оказывается, это отображение дает множество фракталов, соответствующих множеству Жюлиа $J(a, b)$.
Используя утверждение 6.11 , дадим следующее
Определение 7.1. Множество Жюлиа J(a, b) – это граница области $D_{\infty}$ (то есть граница области притяжения бесконечности).

Заметим, что при $a=b=0$ множество Жюлиа – это окружность единичного радиуса. Действительно, в этом случае отображение $z_{n+1}=z_{n}^{2}$ имеет единственную устойчивую неподвижную точку $z=0$. При $|z|<1$ итерации стремятся к нулю, а при $|z|>1$ – уходят на бесконечность. При малых значениях $a, b$ множество $J(a, b)$ уже не имеет форму окружности и, как правило, является фракталом (см. рис. 7.1). На рис. 7.2 показан увеличенный фрагмент рисунка 7.1.
Рис. 7.2. Фрагмент фрактала Жюлиа при $a=-0.22, b=-0.74$

Жюлиа подробно исследовал свойства этого множества. Вот наиболее важные из этих свойств (см. Утверждение 6.11) .
1) Отображение (6.4) (или (7.1)) преобразует $J(a, b)$ в себя. Другими словами, множество $J(a, b)$ – инвариантное множество преобразования (7.1).
2) Почти каждая точка $P(x, y)$ имеет два прообраза.

Действительно, разрешая (7.1) относительно $x$ и $y$, получаем
\[
\begin{array}{c}
x_{n}^{2}-y_{n}^{2}=x_{n+1}-a \\
\left(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\right)^{2}=\left(x_{n}^{2}-y_{n}^{2}\right)^{2}+4 x_{n}^{2} y_{n}^{2}=\left(x_{n+1}-a\right)^{2}+\left(y_{n+1}-b\right)^{2}
\end{array}
\]

Поэтому $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=\sqrt{\left(x_{n+1}-a\right)^{2}+\left(y_{n+1}-b\right)^{2}}$ и, следовательно,
\[
x_{n}^{2}=1 / 2\left(x_{n+1}-a\right)+1 / 2 \sqrt{\left(x_{n+1}-a\right)^{2}+\left(y_{n+1}-b\right)^{2}} .
\]

Из этой формулы находим два значения для $x_{n}$ :
\[
x_{n}= \pm \sqrt{\frac{x_{n+1}-a+\sqrt{\left(x_{n+1}-a\right)^{2}+\left(y_{n+1}-b\right)^{2}}}{2}} .
\]

Если $x_{n}$ известно, $y_{n}$ можно найти из второго соотношения в формуле (7.1):
\[
y_{n}=\left(y_{n+1}-b\right) / 2 x_{n}
\]

Итак, точка $P(x, y)$ имеет два прообраза. Каждый из этих прообразов имеет, в свою очередь, также по два прообраза и т. д. Снова мы получаем структуру двоичного дерева. Согласно Жюлиа, прообразы заполняют $J$ всюду плотно.
3) Все неустойчивые периодические циклы расположены в $J$.
4) Орбита произвольной точки $P \in J$ остается в $J$ и является либо периодическим циклом, либо хаотической орбитой.
5) Для обратного отображения (7.2), (7.3) множество Жюлиа – аттрактор.
Используя формулы (7.1), несложно написать компьютерную программу для построения фрактала Жюлиа – множества Жюлиа $J(a, b)$. На рис. 7.3 показан фрактал $J(0,1)$, а на рис. 7.4 – фрактал $J(-3 / 4,0)$.

Фракталы Жюлиа всегда симметричны относительно начала координат. Если же $b=0$, то они симметричны относительно обеих осей $x$ и $y$. Этот факт можно использовать при написании программы построения фракталов. Рассмотрим подробнее случай $b=0$.

Если в (7.1) положим $b=0$ и начнем итерации от точки $P(x, y)$ на оси $x(y=0)$, то ее образ также будет лежать на оси $x$. Таким образом, для орбиты, выходящей из этой точки, $y_{n}=0$, и
\[
x_{n+1}=x_{n}^{2}+a \text {. }
\]

То есть, отображение (7.1) в этом случае сводится к одномерному отображению (7.4).

Отображение (7.4) эквивалентно модели ограниченного роста популяции
\[
\xi_{n+1}=\alpha \xi_{n}\left(1-\xi_{n}\right) .
\]

Действительно, делая в этом отображении замену $\xi_{n}=1 / 2-x_{n} / \alpha$, получаем (7.4) с $a=\alpha / 2-\alpha^{2} / 4$.

В главе 5 мы нашли, что для $1<\alpha<3$ отображение (7.5) имеет устойчивую неподвижную точку $\xi=1-1 / \alpha$, и установили поведение при $\alpha>3$. А именно, при увеличении $\alpha$ от $\alpha=3$ наблюдается удвоение периода по Фейгенбауму. Значение $\alpha=3$ соответствует $a=-3 / 4$, а неподвижная точка $\xi=2 / 3$ соответствует $x=-1 / 2$. Итак, эта неподвижная точка находится на границе области устойчивости. Для двумерного отображения (7.1) это означает, что неподвижная точка ( $-1 / 2,0$ ) находится на границе области устойчивости и, следовательно, принадлежит фракталу.

Дальнейший анализ показывает, что фрактал на рис. 7.4 состоит из бесконечного ряда островов, которые касаются друг друга попарно на оси $x$.

Рис. 7.5 показывает фрактал $J(0.11,0.66)$. Примечательно, что он не является связным, а состоит из отдельных компонент, подобно точечному множеству Кантора. Фракталы такого типа обычно называют «nылью Фату» в честь математика Фату.

Рис. 7.4. Фрактал Жюлиа при $a=-0.75, b=0$

Рис. 7.5. Фрактал Жюлиа при $a=0.11, b=0.66$
Фракталы Жюлиа дают много прекрасных картин, особенно если использовать при их построении цвет.

При построении цветных фракталов используется условие приближения орбиты к аттрактору – бесконечно удаленному, как для фракталов Жюлиа, или к конечному, как для фракталов Ньютона, о которых речь пойдет ниже.

Так как для приближения к аттрактору орбите может потребоваться огромное количество итераций, то в программе необходимо использовать некое предельное значение для числа итераций, после которого считаем, что орбита подошла к аттрактору.

Цвет же каждой точки на экране определяется числом итераций, которое потребовалось орбите, чтобы приблизиться к аттрактору. Если использовать 256 цветов, то номер цвета можно, например, определить по формуле $n \bmod 256$, где $n$ – число совершенных итераций.