12.4.1. Предельная емкость. Фрактальная размерность

Заменим в определении хаусдорфовой размерности класс покрытий. А именно, будем покрывать множество $A$ не произвольными открытыми множествами диаметра, меньшего или равного $\delta$, а шарами одного и того же диаметра $\delta$. То есть, $d$-мерный объем множества $A$ будем приближать выражением: $m(A, \alpha, \delta)=\inf \left\{\sum_{u_{i} \in \Gamma}\left|u_{i}\right|^{\alpha} ; \bigcup_{i} u_{i} \supset A, \operatorname{diam} u_{i}=\delta\right\}$, где $u_{i}$ – шар в $R^{n}$ с центром в некоторой точке $x$, то есть множество точек $y$ таких, что $\operatorname{dist}(x, y) \leq \delta / 2$, а $\Gamma$ – покрытие множества $A$. Перепишем выражение в фигурных скобках следующим образом: $\sum_{u_{i} \Gamma \Gamma}\left|u_{i}\right|^{\alpha}=N(A, \delta) \delta^{\alpha}$; где $N(A, \delta)$ – число элементов в покрытии $\Gamma$.

В отличие от хаусдорфовой размерности, величина $m(A, \alpha, \delta)$ может не иметь предела при $\delta \rightarrow 0$, поэтому рассматриваются ее верхний и нижний пределы. Пусть
\[
\bar{m}_{c}(A, \alpha)=\varlimsup_{\delta \rightarrow 0} m(A, \alpha, \delta), \quad \underline{m}_{c}(A, \alpha)=\underline{\lim }_{\delta \rightarrow 0} m(A, \alpha, \delta) .
\]

Функции $\bar{m}_{c}(A, \alpha), \underline{m}_{c}(A, \alpha)$ обладают следующими свойствами: существует $\bar{\alpha}_{c}$ (соответственно $\underline{\alpha}_{c}$ ), что $\bar{m}_{c}(A, \alpha)=\infty$ при $\alpha<\bar{\alpha}_{c}$ и $\bar{m}_{c}(A, \alpha)=0$ при $\alpha>\bar{\alpha}_{c}$ (соответственно $\underline{m}_{c}(A, \alpha)=\infty$ при $\alpha<\underline{\alpha}_{c}$ и $\underline{m}_{c}(A, \alpha)=0$ при $\left.\alpha>\underline{\alpha}_{c}\right)$.
Верхней и нижней емкостью множества $A$ называются числа
\[
\begin{array}{l}
\bar{c}(A)=\bar{\alpha}_{c}=\inf \left\{\alpha: \bar{m}_{c}(A, \alpha)=0\right\}, \\
\underline{c}(A)=\underline{\alpha}_{c}=\inf \left\{\alpha: \underline{m}_{c}(A, \alpha)=0\right\} .
\end{array}
\]

Нетрудно видеть, что
\[
\bar{c}(A)=\varlimsup_{\delta \rightarrow 0} \frac{\ln N(A, \delta)}{|\ln \delta|}, \underline{c}(A)=\varliminf_{\delta \rightarrow 0} \frac{\ln N(A, \delta)}{|\ln \delta|},
\]

где $N(A, \delta)$ – наименьшее число шаров диаметра $\delta$, покрывающих множество $A$.

Непосредственно из определения вытекает, что $\operatorname{dim}_{H}(A) \leq \underline{c}(A) \leq \bar{c}(A)$.

Из определения емкости нетрудно также установить, что если множество $B$ плотно в $A$, то $\bar{c}(B)=\bar{c}(A)$ и $\underline{c}(B)=\underline{c}(A)$. Например, множество всех рациональных чисел на отрезке $[0,1]$ имеет емкость равную единице и нулевую хаусдорфову размерность, поскольку оно счетно.
Верхнюю емкость называют фрактальной размерностью.
12.4.2. Инвариантная мера

Мера $\rho$ называется инвариантной, если для любого измеримого подмножества $B \subset M$ и $t>0$ имеем $\rho\left(f^{-t} B\right)=\rho(B)$, где $f^{t}-$ отображение сдвига на время $t$ динамической системы с фазовым пространством $M$. В данном учебном пособии рассматриваются только дискретные двумерные динамические системы (главы 6-8).

Мера $\rho$ (ниже используется $\mu$ ): 1) сосредоточена на множестве $A$ (например, на аттракторе – притягивающем множестве), если мера любого подмножества, которое не содержит точек множества $A$, равна нулю; 2) вероятностная, если $\rho(A)=1 ; 3$ ) эргодическая, если в $A$ не существует инвариантных (т.е. состоящих из целых траекторий) подмножеств промежуточной (между нулем и единицей) меры. Инвариантные вероятностные и эргодические меры всегда существуют (теорема Боголюбова-Крылова устанавливает факт существования таких мер и дает рецепт их построения).

Отвечающая установившемуся (в неконсервативном случае) движению системы траектория, с которой имеет дело исследователь, по своему определению «типична» относительно некоторой меры.
12.4.3. Поточечная размерность

Основной характеристикой, используемой при обработке результатов численного или натурального эксперимента, является поточечная размерность.

Пусть $A \subset M$ – аттрактор динамической системы $\left(f^{t}, M\right)$ и $\mu$ инвариантная (относительно $f^{t}$ ) мера, сосредоточенная на аттракторе $A$. Пусть $x \in A$ – точка на аттракторе, $B(x, \delta)$ – шар радиуса $\delta$ с центром в точке $x$. Положим
\[
\bar{d}_{\mu}(x)=\varlimsup_{\delta \rightarrow 0} \frac{\ln \mu(B(x, \delta))}{\ln \delta}, \quad \underline{d}_{\mu}(x)=\varliminf_{\delta \rightarrow 0} \frac{\ln \mu(B(x, \delta))}{\ln \delta} .
\]

Величины $\bar{d}_{\mu}(x), \underline{d}_{\mu}(x)$ называются верхней и нижней поточечной размерностями по мере $\mu$.

Если аттрактор в определенном смысле «однороден» – его нижняя и верхняя поточечные размерности $\mu$ почти всюду равны одному и тому же числу $d$, то этому же числу равны хаусдорфова размерность и верхняя и нижняя емкости «наименьшего» множества полной меры в $A$.