На рис. 3.13 показан звездный фрактал. Он состоит из правильной пятиконечной звезды с гирляндой из 5 меньших образцов. Каждая из этих 5 более мелких звезд несет на своих четырех свободных концах еще более мелкие звезды. Теоретически этот процесс можно продолжать бесконечно. В результате получим звездный фрактал, обладающий самоподобием. На рис. 3.13 показано 5 шагов (1280 отрезков). Этот звездный фрактал строится как замкнутая ломаная линия, последовательные отрезки всегда пересекаются под одним и тем же углом. Фрагмент с $\alpha=4 \pi / 5\left(144^{\circ}\right)$ изображен на рис. 3.14. Предположим, что отрезки пронумерованы от 0 до $n=1279$. Если первый отрезок с индексом $n=0$ имеет направление $\varphi=0$, то направление произвольного отрезка с индексом $n$ будет $n \alpha$. При построении такого фрактала мы должны иметь правило, по которому определяется длина $n$-го отрезка, если мы знаем длину ( $n-1$ )-го отрезка. Для случая, изображенного на рис. 3.13, имеем 5 различных длин: $1, r, r^{2}, r^{3}, r^{4}$, где $r$ — показатель уменьшения (на рис. 3.13 он равен 0.35 ).
Рис. 3.13. Звездный фрактал
Правило, на котором основано построение рис. 3.13, следующее:

Рис. 3.14. Схема построения звездного фрактала
Отсюда следует, что длина отрезка с индексом $n$ зависит от числа множителей 4 в $n$. Обобщим это правило так, чтобы можно было построить другой звездный фрактал. Обозначим число шагов через $p$ и возьмем произвольное число $v$ вместо 4 .
Тогда мы получим общее правило:

Рис. 3.15. Квадратичный звездный фрактал
В общем случае индекс отрезка изменяется от 0 до $(v+1) v^{p-1}$. Из них ровно $v+1$ отрезков самой большой длины $1 ;(v+1)(v-1)-$ длины $r ;(v+1)\left(v^{2}-v\right)$ — длины $r^{2}$ и т. д. Рис. 3.13 был построен для $p=5, v=4, \alpha=4 \pi / 5, r=0.35$. На рис. 3.15 показан фрактал, построенный для $p=7, v=3, \alpha=\pi / 2, r=0.47$.

Попробуйте написать программу построения звездных фракталов с произвольными $p, v, \alpha, r$.

Итак, мы рассмотрели разнообразные конструктивные фракталы, приближение для которых задается достаточно сложной линией. А что же такое линия? Интуитивно мы понимаем, что это такое. Более строгие математические определения смотрите в Приложении (глава 10).