В этом разделе мы соприкоснемся с возникновением случайности, точнее, квазислучайности, в детерминированных динамических системах (ДС). Квазислучайность в ДС – чрезвычайно сложная, интересная и недостаточно изученная область в теории ДС. Одним из первых, кто обратил внимание на возможность сложной динамики, был, повидимому, французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912).

А. Пуанкаре обогатил почти все области математики результатами первостепенного значения. Его можно с полным правом назвать не только выдающимся математиком, но и первоклассным механиком, физиком, астрономом.
А. Пуанкаре указал на возможность существования в динамических системах гомоклинных и гетероклинных движений. Позже было доказано, что в окрестности гомоклинных движений решения ДС ведут себя квазислучайным образом. В настоящее время сложную динамику в детерминированных ДС связывают с терминами «хаос» и «стохастичность». Мы не будем здесь касаться этого достаточно сложного раздела в современной теории ДС, а лишь проиллюстрируем возможность возникновения сложной динамики на наиболее простом примере одномерной дискретной ДС.
5.2.1. Модель ограниченного роста популяции

Предметом обсуждения в данном примере является математическая модель ограниченного роста популяции, которая описывает число насекомых (скажем, мух) в последующих поколениях. Введем в этой задаче масштабирование так, чтобы число мух определялось числом между 0 и 1.

Модель неограниченного роста очень проста: $x_{n+1}=a x_{n}$, $n=0,1, \ldots$ Это означает, что в каждом поколении будет в «a» раз больше мух, чем в предыдущем поколении. Показатель $a$ называется показателем Мальтуса (по имени экономиста Мальтуса (1766-1834), который посвятил свою жизнь изучению моделей роста). Число Мальтуса можно интерпретировать как степень плодовитости популяции насекомых. В 1845 г. Верхольст вывел отсюда модель ограниченного роста:
\[
T: \quad x_{n+1}=a x_{r}\left(1-x_{n}\right) .
\]

Это и есть одномерная дискретная динамическая система – отображение T. Действительные биологические модели, конечно, более сложные.

Обратимся к исследованию модели (5.1). Положим $0<a \leq 4$. Тогда итерации $x_{n}$ не выходят из единичного отрезка [0,1]. График функции $y=g(x)=a x(1-x)$ показан на рис. 5.5.
Рис. 5.5. График функции $y=a x(1-x)$
Пересечение графика функции $y=g(x)$ с прямой $y=x$ определяет неподвижные точки отображения (5.1). На рис. 5.5 также показан итерационный процесс, сходящийся к неподвижной точке. Глядя на этот рисунок, нетрудно понять, что нетривиальная неподвижная точка $x^{(1)}$ будет устойчивой, если $\left|f^{\prime}\left(x^{(1)}\right)\right|<1$. Обратимся к более строгому анализу отображения (5.1).

Из уравнения $x=a x(1-x)$ находим неподвижные точки $x^{(0)}=0, x^{(1)}=(a-1) / a$. Линеаризуя отображение (5.1) в окрестности неподвижной точки, получаем $x_{n+1}=a\left(1-2 x^{(k)}\right)\left(x_{n}-x^{(k)}\right), \quad k=0,1$.

Число $\mu=\left|a\left(1-2 x^{(k)}\right)\right|$ является мультипликатором неподвижной точки. При $\mu<1$ неподвижная точка устойчивая, а при $\mu>1$ – неустойчивая. При $\mu=1$ устойчивость неподвижной точки определяется нелинейным членом.

При $0<a<1$ отображение (5.1) имеет одну неподвижную точку на отрезке $[0,1]$, при $1<a \leq 4$ – две неподвижные точки: $x^{(0)}=0, x^{(1)}=(a-1) / a$. Соответственно, величина $\mu$ равна $a$ и $2-a$.

Поэтому при $0<a<1$ имеем единственную устойчивую неподвижную точку $x^{(0)}$. При $a=1$ эта точка теряет устойчивость и при $1<a<3$ имеем другую устойчивую точку $x^{(1)}$. Если $1<a<2$, то последовательность $x_{n}$ асимптотически приближается к $x^{(1)}$ с одной стороны, а при $2<a<3$ с двух сторон (в этом случае последовательность «осциллирует» относительно точки $x^{(1)}$ ).

Таким образом, для биологической модели важно, что при $1<a<3$ имеется устойчивое решение.

При дальнейшем увеличении параметра $a$ неподвижная точка $x^{(1)}$ теряет устойчивость. Куда же будет стремиться последовательность $x_{n}$, если $x_{0}$ взять вблизи $x^{(1)}$ ? Оказывается, к периодической периода 2 точке. Такая точка находится из условия $x=T(T x)=T^{2} x$ или $x=a^{2} x(1-$ $x)(1-a x(1-x))$, или из уравнения $a^{2}(1-x)(1-a x(1-x))=1$. Далее приведем компьютерные результаты для бифуркационных значений параметра $a$, т. е. для значений $a$, при которых периодическая периода $p=2^{j}$ точка теряет устойчивость:
$3(j=0), 3.449499(j=1), 3.544090(j=2), 3.564407(j=3), 3.568759$ $(j=4), 3.569692(j=5), 3.569891(j=6), 3.569934(j=7)$.

Последовательность бифуркационных значений $a_{j}$ сходится к значению $a_{\infty} \approx 3.569946$ и похожа на геометрическую прогрессию, ибо $F=\frac{a_{j-1}-a_{j}}{a_{j}-a_{j+1}} \approx 4.6692016$.

Число $F$ называется постоянной Фейгенбаума, который первым обнаружил такую закономерность в последовательности $\left\{a_{j}\right\}$.

Описанное нами явление удвоения периода в модели $x \rightarrow a x(1-x)$ напоминает фрактал, основанный на двоичной системе с показателем масштабирования, равным числу Фейгенбаума.

Удвоение периода останавливается на значении $a_{\infty} \approx 3.569946$. Что же произойдет при дальнейшем увеличении $a$ ? Оказывается, будет наблюдаться чередование апериодического (хаотического) движения с периодическим. Например, около значения $a \approx 3.83$ существуют устойчивые периодические точки периода 3 . При $a \approx 3.841$ эти точки теряют устойчивость и далее возникают устойчивые периодические точки периода 6 (или, как иногда говорят, цикл периода 6). Далее этот процесс «удвоения» периода тройных точек идет подобно описанному выше процессу удвоения периода. Оказывается, что на интервале ( $\left.a_{\infty}, 4\right)$ существует бесчисленное множество «окон» существования устойчивых периодических точек. Впервые подобный результат был получен украинским математиком А. И. Шарковским в 60 -х годах XX века.

Удвоение периода является одним из сценариев перехода к хаосу. Этот сценарий называют обычно сценарием Фейгенбаума.

При $a=a_{\infty}$ имеем хаос – апериодическое движение. Итак, при $a_{\infty}<a<4$ модель (отображение) ведет себя либо хаотически, либо периодически. Рис. 5.6 показывает нам чередование этих областей, а также бифуркации удвоения периода.
Рис. 5.6. Порядок и хаос в модели ограниченного роста популяции $x \rightarrow a x(1-x)$

Рис. 5.7. Увеличение предыдущей диаграммы вблизи $a=3.83$

Наряду с моделью (5.1) можно использовать модели:
\[
\bar{x}=f(x, a) \text {, }
\]

где $f=a \sin \pi x, f=x \exp (a(1-x))$,
\[
f=x(1+a(1-x)), f=\frac{a x}{(1+a x)^{5}} .
\]

Для этих моделей интересующийся читатель может сам построить бифуркационные диаграммы, подобные той, которая показана на рис. 5.6.
5.2.2. Определение детерминированного хаоса по Девани [20]

Рассмотрим отображение $f(x)$ метрического пространства ( $X, d$ ) в себя: $f(x): X \rightarrow X$. Здесь $d$-метрика в пространстве $X$. Например, если в качестве $X$ взять евклидово пространство $R^{n}$, то в качестве метрики можно рассматривать евклидово расстояние $d(x, y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}$.

Определение 1. Будем называть отображение $f(x): X \rightarrow X$ хаотическим, если: 1) $f$ обладает существенной зависимостью от начальных условий; 2) $f$ транзитивно; 3) периодические точки $f$ плотныв в $X$.

Определение 2. Пусть $x \in X$, a $U$-открытое множество, содержащее $x$. Говорят, что отображение $f$ обладает существенной зависимостью от начальных условий, если для некоторого $\delta>0$ существует такое челое число $n>0$ и такая точка $y \in U$, что $d\left(f^{(n)}(x), f^{(n)}(y)\right)>\delta$.

Определение 3. Отображение $f$ называется транзитивным, если для любой пары $U, V$ открытых множеств существует такое $n \geq 0$, что $f^{(n)}(U \cap V
eq \varnothing$.

Определение 4. Говорят, что периодические точки отображения $f$ плотны в $X$, если в любой окрестности любой точки $X$ существует по крайней мере одна периодическая точка (и, следовательно, бесконечно много периодических точек).

В работе [21] было показано, что в случае непрерывной $f$ условие 1) в определении хаотического отображения является избыточным.
Заметим также, что существуют и другие определения хаоса.
Нетрудно показать, что отображение окружности $f: S^{1} \rightarrow S^{1}$, определяемое соотношением $f\left(e^{i \theta}\right)=e^{2 i \theta}$, является хаотическим.

В качестве примера рассмогрим отображение (5.1) при $a=4$, т.е. при $f(x)=4 x(1-x), \quad x \in[0,1]$. Делая замену $x=\sin ^{2} O$, придем к отображению $\bar{\theta}=2 \theta \bmod \pi$, которое является хаотическим.