Самым важным преобразованием подобия является поворот, скомбинированный с центральным расширением (сжатием). Определяющими характеристиками являются центр и показатель масштабирования. Поворот с расширением – это произведение преобразований: $R C$ или $C R$. Здесь порядок преобразований не имеет значения.
Рис. 4.3. Преобразование «поворот-растяжение»
Преобразование «поворот-растяжение» относительно начала координат $O$ имеет вид:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=a x-b y \\
y^{\prime}=b x+a y
\end{array}, \quad \Delta=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array}\right]\right.
\]

Величина $\Delta=a^{2}+b^{2}$ характеризует величину растяжениясжатия. При $\Delta>1$ имеем растяжение, а при $\Delta<1$ – сжатие. В координатах преобразование «поворот-растяжение» показано на рис. 4.4. Точка $E$ с координатами $(1,0)$ переходит в точку $E^{\prime}$ с координатами $(a, b)$. При этом масштабный множитель $O E^{\prime} / O E=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Угол вращения $\alpha$ удовлетворяет соотношениям:
\[
\cos \alpha=\frac{O A}{O E^{\prime}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \sin \alpha=\frac{A E^{\prime}}{O E^{\prime}}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} .
\]

Рис. 4.4. Преобразование «поворот-растяжение»
Преобразование «поворот-растяжение» относительно произвольного центра записывается в виде:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=a x-b y+c \\
y^{\prime}=b x+a y+d
\end{array}\right.
\]