Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим отображение (дискретную динамическу систему) где $f(z)=P_{n}(z)$ — полином степени $n$, коэффициенты которого, вообще говоря, являются кватернионами. В качестве примера такого отображения рассмотрим квадратичное отображение где $q=a+b i+c j+d k$ — вещественные параметры. Многое из того, о чем мы будем говорить, переносится на отображения Исследование (9.5) сведем к анализу траекторий отображения где $H^{3}$ — подпространство пространства $H^{4}$, элементами которого являются всевозможные гиперкомплексные числа $a+b i+c j, a, b, c \in R^{1}$. Разделяя в (9.5) действительную и мнимые части ( $f(z)=f_{1}+f_{2} i+f_{3} j+f_{4} k$ ), приходим к вещественному отображению в $R^{4}$ : Если $r_{0}=0$ и $d=0$, то $r_{m}=0, \quad m=1,2, \ldots$. . В этом случае отображение (9.7) сводится к 3 -х мерному отображению (9.6): А именно, это отображение мы и рассмотрим в данном разделе. Будем называть его 3-х мерным отображением Жюлиа и обозначать через J3D. Если в (9.8) положить $c=0$ и $p_{0}=0$, то это отображение в свою очередь сведется к рассмотренному в гл. 6-7 двухмерному отображению Жюлиа J2D: Наконец, если $b=0$ и $y_{0}=0$, то (9.9) приводит к одномерному (логистическому — logistic map) отображению J1D: Как мы заметили, справедливо Свойство 3. При $b^{2}+c^{2} \[ Свойство 4. При выполнении условий $b^{2}+c^{2} Доказательство этого свойства следует из того, что для точки $O$ при указанных условиях мультипликаторы $\mu_{1,2,3}$ лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости $(\operatorname{Re} \mu, \operatorname{Im} \mu)$, а для $O_{2}$ имеется корень вне единичной окружности. Здесь $\mu_{1,2,3}$ — корни характеристического уравнения где $\left(x^{*}, y^{*}, p^{*}\right)$ — одна из неподвижных точек. Доказательство существования счетного множества подынтервалов с устойчивыми периодическими точками следует из редукции J3D к логистическому отображению J1D (9.10). Обозначим через J3D(f) замыкание множества отталкивающих (неустойчивых) точек отображения J3D: $\bar{z}=f(z, q)=z^{2}+q, z, q \in H^{3}$, т.е. если $\omega \in J 3 D(f)$, то $J 3 D(f)=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} f^{(n)^{-1}}(\omega)\right)$. Иногда это множество мы будем обозначать через $J 3 D(a, b, c)$. Множество $J 3 D(f)$ является 3 -х мерным аналогом множества Жюлиа $J 2 D(f)$. Как мы заметили выше, это множество может не содержать неустойчивую неподвижную точку (из-за ее отсутствия). Свойство 6. При $|q|=0 \quad(a=b=c=0)$ множество $J 3 D(0,0,0)$ принадлежит сфере $x^{2}+y^{2}+p^{2}=1$ и идуиированное на ней отображение является хаотическим. Действительно, $\bar{z}=z^{2}$ и сфера является отталкивающим множеством. Свойство 7. Множество $J 3 D(a, 0,0)$ симметрично относительно осей $y, p$ и при малых а лежит на поверхности вращения относительно оси $x$. Свойство 8. Если $|q|>2 u|z| \geq q$, то любая траектория отображения J3D стремится к бесконечности. Доказательство повторяет соответствующее доказательство для $J 2 D$ $[2,18]$. Пусть $|q|=2+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ малое число. Тогда Далее получаем Свойство 9. Множество $J 3 D(f)$ лежит в ограниченной области пространства $R^{3}$ и является границей области притяжения бесконечности и устойчивых точек. По аналогии с $J 2 D(f)$ последнее свойство множества $J 3 D(f)$ можно принять за его определение. Это свойство, а также свойство 2 будем использовать при компьютерном построении множества $J 3 D(f)$. Свойство 11. Множество $J 3 D(f)$ инвариантно относительно $f$ $u f^{-1}$. Свойство 12. Если итерации точки ( $x_{0}=a, y_{0}=b, p_{0}=c$ ) не уходят на бесконечность, то множество $J 3 D(a, b, c)$ связно; в противном случае это множество может содержать как связную, так и несвязную компоненты. При $|q|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>2$ множество $J 3 D(a, b, c)$ вполне несвязно. Рис. 9.1. Множество J3D $(0.1,0.5,0.2)$ Множество $J 3 D(a, b, c)$ строилось также и другим методом, обобщающем на трехмерное пространство известный метод построения фракталов Жюлиа $J 2 D(a, b)$. Соответствующий результат приведен на рис. 9.9, где показана половина «фрактальной поверхности». Эта «поверхность» имеет сложную форму. В каждом сечении, перпендикулярном удаленной оси Y, имеем фрактальную кривую. При этом форма кривой существенно изменяется при смещении вдоль оси Y. При реализации этого алгоритма построения множества $J 3 D(a, b, c)$ можно параллельно вычислять фрактальную размерность $d_{J 3 d}=\lim \frac{\ln N(\varepsilon)}{-\ln \varepsilon}$. Здесь $N(\varepsilon)$ — минимальное число кубов со стороной $\varepsilon$, покрывающих $J 3 D(f)$. Однако этот метод связан с пикселами и дает лишь грубое приближение $d_{J 3 D}$. Теоретически более точный результат можно получить, используя (9.11), т.е. используя вещественные координаты точек аттрактора-фрактала. Однако в этом случае очень большое время вычисления $d_{J 3 D}$. На рис. 9.10 приведен трехмерный аналог множества Мандельброта.
|
1 |
Оглавление
|