Рассмотрим отображение (дискретную динамическу систему)
\[
z_{m+1}=f\left(z_{m}\right), \quad m=0,1,2, \ldots, \quad z \in H^{4},
\]

где $f(z)=P_{n}(z)$ – полином степени $n$, коэффициенты которого, вообще говоря, являются кватернионами. В качестве примера такого отображения рассмотрим квадратичное отображение
\[
z_{m+1}=z_{m}^{2}+q, z, q \in H^{4},
\]

где $q=a+b i+c j+d k$ – вещественные параметры. Многое из того, о чем мы будем говорить, переносится на отображения
\[
z_{m+1}=P_{n}\left(z_{m}\right), \text { где } n>2 .
\]

Исследование (9.5) сведем к анализу траекторий отображения
\[
z_{m+1}=z_{m}^{2}+q, \quad z, q \in H^{3},
\]

где $H^{3}$ – подпространство пространства $H^{4}$, элементами которого являются всевозможные гиперкомплексные числа $a+b i+c j, a, b, c \in R^{1}$. Разделяя в (9.5) действительную и мнимые части ( $f(z)=f_{1}+f_{2} i+f_{3} j+f_{4} k$ ), приходим к вещественному отображению в $R^{4}$ :
\[
\begin{array}{l}
x_{m+1}=x_{m}^{2}-y_{m}^{2}-p_{m}^{2}-r_{m}^{2}+a \\
y_{m+1}=2 x_{m} y_{m}+b \\
p_{m+1}=2 x_{m} p_{m}+c \\
r_{m+1}=2 x_{m} r_{m}+d
\end{array}
\]

Если $r_{0}=0$ и $d=0$, то $r_{m}=0, \quad m=1,2, \ldots$. . В этом случае отображение (9.7) сводится к 3 -х мерному отображению (9.6):
\[
\begin{array}{l}
x_{m+1}=x_{m}^{2}-y_{m}^{2}-p_{m}^{2}+a \\
y_{m+1}=2 x_{m} y_{m}+b \\
p_{m+1}=2 x_{m} p_{m}+c
\end{array}
\]

А именно, это отображение мы и рассмотрим в данном разделе. Будем называть его 3-х мерным отображением Жюлиа и обозначать через J3D. Если в (9.8) положить $c=0$ и $p_{0}=0$, то это отображение в свою очередь сведется к рассмотренному в гл. 6-7 двухмерному отображению Жюлиа J2D:
\[
\begin{array}{l}
x_{m+1}=x_{m}^{2}-y_{m}^{2}+a \\
y_{m+1}=2 x_{m} y_{m}+b
\end{array}
\]

Наконец, если $b=0$ и $y_{0}=0$, то (9.9) приводит к одномерному (логистическому – logistic map) отображению J1D:
\[
x_{m+1}=x_{m}^{2}+a \text {. }
\]
9.2.1. Свойства отображения J3D

Как мы заметили, справедливо
Свойство 1. Если $c=0$ и $p_{0}=0$, то J3D сводится к. $22 D$.
Далее приведем другие свойства отображения J3D, снабжая их, по возможности, доказательством.
Свойство 2. Обратное отображение $f^{(-1)}(z)$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x= \pm \sqrt{\frac{\bar{x}-a}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{(\bar{x}-a)^{2}-(\bar{y}-b)^{2}+(\bar{p}-c)^{2}}} \\
y=\frac{\bar{y}-b}{2} \\
p=\frac{\bar{p}-c}{2}
\end{array}
\]

Свойство 3. При $b^{2}+c^{2}
eq 0$ отображение (9.8) имеет в ограниченной части пространства $R^{3}$ две неподвижных точки $O_{1}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, p^{\prime}\right)$ и

\[
\begin{array}{l}
O_{2}\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, p^{\prime \prime}\right) \text {, где } x^{\prime}=\frac{\alpha-1}{2 \alpha}, \quad y^{\prime}=b \alpha, \quad p^{\prime}=c \alpha \quad \text { и } \quad x^{\prime \prime}=\frac{\alpha+1}{2 \alpha} \\
y^{\prime \prime}=-b \alpha, p^{\prime \prime}=-c \alpha, \alpha=\sqrt{\frac{4 a-1+\sqrt{1-8 a+16\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}}{8\left(b^{2}+c^{2}\right)}}
\end{array}
\]

Свойство 4. При выполнении условий $b^{2}+c^{2}
eq 0,\left|x^{\prime}\right|<0.5$,
$\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+p^{\prime 2}}<0.5$ неподвижная точка $O_{1}$ устойчивая, а $O_{2}$ всегда неустойчивая.

Доказательство этого свойства следует из того, что для точки $O$ при указанных условиях мультипликаторы $\mu_{1,2,3}$ лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости $(\operatorname{Re} \mu, \operatorname{Im} \mu)$, а для $O_{2}$ имеется корень вне единичной окружности. Здесь $\mu_{1,2,3}$ – корни характеристического уравнения
\[
\left(2 x^{*}-\mu\right)\left[\left(2 x^{*}-\mu\right)^{2}+4\left(y^{* 2}+p^{* 2}\right)\right]=0,
\]

где $\left(x^{*}, y^{*}, p^{*}\right)$ – одна из неподвижных точек.
Свойство 5. При $b=c=0$ и $a \in(-0.75,0.25)$ существует единственная устойчивая неподвижная точка $O_{1}\left(\frac{1-\sqrt{1-4 a}}{2}, 0,0\right)$ и единственная неустойчивая неподвижная точка $O_{2}\left(\frac{1+\sqrt{1-4 a}}{2}, 0,0\right)$. При $a=0.25$ эти неподвижные точки сливаются и при а>0.25 исчезают; от сложной точки $(0.5,0,0)$ родится инвариантное множество – иикл:
$x=1 / 2, y^{2}+p^{2}=\frac{4 a-1}{4}$. На интервале $a \in(-2,-0.75)$ имеется счетное множество подынтервалов существования устойчивых периодических точек.

Доказательство существования счетного множества подынтервалов с устойчивыми периодическими точками следует из редукции J3D к логистическому отображению J1D (9.10).

Обозначим через J3D(f) замыкание множества отталкивающих (неустойчивых) точек отображения J3D: $\bar{z}=f(z, q)=z^{2}+q, z, q \in H^{3}$, т.е. если $\omega \in J 3 D(f)$, то $J 3 D(f)=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} f^{(n)^{-1}}(\omega)\right)$.

Иногда это множество мы будем обозначать через $J 3 D(a, b, c)$. Множество $J 3 D(f)$ является 3 -х мерным аналогом множества Жюлиа $J 2 D(f)$. Как мы заметили выше, это множество может не содержать неустойчивую неподвижную точку (из-за ее отсутствия).

Свойство 6. При $|q|=0 \quad(a=b=c=0)$ множество $J 3 D(0,0,0)$ принадлежит сфере $x^{2}+y^{2}+p^{2}=1$ и идуиированное на ней отображение является хаотическим.

Действительно, $\bar{z}=z^{2}$ и сфера является отталкивающим множеством.
Так как в силу (8) имеем $\frac{y_{m+1}}{p_{m+1}}=\frac{y_{m}}{p_{m}}$, то множество $J 3 D(0,0,0)$ расслаивается на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащие в плоскости, проходящей через ось $x$ и прямую $y=-\frac{y_{0}}{p_{0}} p$.Отображение на окружности $F\left(e^{i \theta}\right)=e^{2 i \theta}, \theta \in[0,2 \pi)$, как известно [18], хаотично. Этот факт указывает на возможность хаотичности отображения $J 3 D$ на множестве $J 3 D(a, b, c)$ при $a^{2}+b^{2}+c^{2}
eq 0$.

Свойство 7. Множество $J 3 D(a, 0,0)$ симметрично относительно осей $y, p$ и при малых а лежит на поверхности вращения относительно оси $x$.

Свойство 8. Если $|q|>2 u|z| \geq q$, то любая траектория отображения J3D стремится к бесконечности.

Доказательство повторяет соответствующее доказательство для $J 2 D$ $[2,18]$. Пусть $|q|=2+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ малое число. Тогда
\[
\begin{array}{l}
|f(z, q)|=\left|z^{2}+q\right| \geq\left|z^{2}\right|-|q| \geq|z|^{2}-|z|=|z|(|z|-1) \geq \\
|z|(|q|-1) \geq|z|(1+\varepsilon) .
\end{array}
\]

Далее получаем
\[
\begin{array}{l}
\left|f^{(2)}(z, q)\right| \geq|f(z, q)|(1+\varepsilon) \geq|z|(1+\varepsilon)^{2}, \ldots \\
\left|f^{(n)}(z, q) \geq\right| z \mid(1+\varepsilon)^{n} \text {.Следовательно, } f^{(n)}(z, q) \rightarrow \infty \text { при } n \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Свойство 9. Множество $J 3 D(f)$ лежит в ограниченной области пространства $R^{3}$ и является границей области притяжения бесконечности и устойчивых точек.
Доказательство. Первая часть свойства 9 следует из устойчивости бесконечности, а вторая – из определения $J 3 D(f)$.

По аналогии с $J 2 D(f)$ последнее свойство множества $J 3 D(f)$ можно принять за его определение.
Свойство 10. Для обратного отображения $f^{-1}$ множество $J 3 D(f)$ аттрактор.

Это свойство, а также свойство 2 будем использовать при компьютерном построении множества $J 3 D(f)$.

Свойство 11. Множество $J 3 D(f)$ инвариантно относительно $f$ $u f^{-1}$.

Свойство 12. Если итерации точки ( $x_{0}=a, y_{0}=b, p_{0}=c$ ) не уходят на бесконечность, то множество $J 3 D(a, b, c)$ связно; в противном случае это множество может содержать как связную, так и несвязную компоненты. При $|q|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>2$ множество $J 3 D(a, b, c)$ вполне несвязно.

Рис. 9.1. Множество J3D $(0.1,0.5,0.2)$
Рис. 9.2. Проекции множества J3D $(0.1,0.5,0.2)$ на координатные плоскости.
Рис. 9.3. Часть множества $\mathrm{J} 3 \mathrm{D}(0.2,-0.1,1.2)$ и его проекция на плоскость (y,p).
Рис. 9.4. Множество J3D( $0.2,-0.1,1.2)$.
Рис. 9.5. Проекции множества $\mathrm{J} 3 \mathrm{D}(0.2,-0.1,1.2)$.
Рис. 9.6. Множество J3D( $0.2,-0.1,1.4)$.
Рис. 9.7. Часть множества J3D(-0.75,0,0).
Рис. 9.8. Проекция части множества J3D $(-0.75,0,0)$, представленного на рис. 9.7, на плоскость (y,p).
Рис. 9.9. Часть фрактальной поверхности для $y \geq 0$ и $a=0.1, b=0.5, c=0.2$.
Рис. 9. 10.

Множество $J 3 D(a, b, c)$ строилось также и другим методом, обобщающем на трехмерное пространство известный метод построения фракталов Жюлиа $J 2 D(a, b)$. Соответствующий результат приведен на рис. 9.9, где показана половина «фрактальной поверхности». Эта «поверхность» имеет сложную форму. В каждом сечении, перпендикулярном удаленной оси Y, имеем фрактальную кривую. При этом форма кривой существенно изменяется при смещении вдоль оси Y. При реализации этого алгоритма построения множества $J 3 D(a, b, c)$ можно параллельно вычислять фрактальную размерность $d_{J 3 d}=\lim \frac{\ln N(\varepsilon)}{-\ln \varepsilon}$. Здесь $N(\varepsilon)$ – минимальное число кубов со стороной $\varepsilon$, покрывающих $J 3 D(f)$. Однако этот метод связан с пикселами и дает лишь грубое приближение $d_{J 3 D}$. Теоретически более точный результат можно получить, используя (9.11), т.е. используя вещественные координаты точек аттрактора-фрактала. Однако в этом случае очень большое время вычисления $d_{J 3 D}$.

На рис. 9.10 приведен трехмерный аналог множества Мандельброта.