Можно интерпретировать Н-фрактал на рис. 0.2 как план города, непригодного для уличного движения, ибо дорога блокируется во многих местах. Н-фрактал относится к так называемым «дендритам», от греческого «dendron» – дерево.
Рис. 1.1. Двоичное дерево
Это название очень подходящее, потому что структура такого фрактала аналогична структуре дерева: ствол разделяется на две отдельные ветви, каждая из которых является стволом для следующих, более мелких, ветвей и т. д. Если этот процесс продолжить до бесконечности, то будем иметь бесконечное число уровней. Дерево на рис. 1.1 строится именно по такому принципу. На каждом уровне вертикальные линии разделяются на две. Показатель уменьшения выберем, например, равным $1 / 2$. Вертикальные ветви удваиваются на каждом уровне, тогда как их длины одновременно уменьшаются вдвое. Каждая горизонтальная линия – это удвоенная длина вертикальной линии, расположенной выше. Если мы зададим ветвь на самом нижнем уровне длиной 1 , то к вертикальной длине каждый раз прибавляется 1 :
\[
1+2 * 1 / 2+4 * 1 / 4+8 * 1 / 8+16 * 1 / 16+\cdots
\]

Что бросается в глаза на рис. 1.1 ( $p=7 ; p-$ число уровней) – это самоподобие. Каждая вертикальная ветвь может рассматриваться как ствол целого дерева – масштабированная копия всей фигуры. Чем выше расположены ветви, тем они теснее. Их длина всегда будет уменьшаться по сравнению с предыдущим уровнем. Суммируя длины вертикальных ветвей (по одной на каждом уровне), получим ряд:
\[
1+1 / 2+1 / 4+1 / 8+\cdots=2 .
\]

Разбиение какого-либо множества на группы из двух элементов или, наоборот, комбинирование в группы из двух элементов, характерно для двоичной системы счисления (десятичная система основана на разбиении или комбинировании в группы из 10). Фрактал-дендрит на рис. 1.1 является, возможно, самым простым примером семейства фракталов, в котором структура системы счисления представляется геометрически. Поэтому обратимся к системам счисления.

Мы едва ли задумываемся, что повсеместно используемый в наши дни (десятичный) способ счисления является результатом долгой культурно-исторической эволюции. Ее основы были заложены индийцами 14 веков назад, а, возможно, и ранее – китайцами. Современные десятичные дроби начали использоваться в Европе Симоном Стевином $(1548-1620)$. И нам десятичная система кажется очень простой и удобной. Запись любого числа, например нынешнего года, находится разложением его по степеням 10 :
\[
1998=1 * 10^{3}+9 * 10^{2}+9 * 10^{1}+8 * 10^{0} .
\]

Господство десятичной системы связано, скорее всего, с тем фактом, что люди имеют десять пальцев. Где-то на другой планете во Вселенной, возможно, живут восьмипалые существа, использующие восьмеричную систему.

На самом деле десятичная система имеет (как и любая другая) свои недостатки. Например, в ней нельзя разделить точно некоторые числа на три равные части. Дробь $1 / 3$ представляется в виде бесконечной десятичной дроби, и поэтому приходится использовать аппроксимации.

Около 5000 лет назад в Месопотамии шумеры развили шестидесятеричную систему счисления, которая удовлетворяла практическим потребностям (в агрокультуре, астрологии). Им мы обязаны делением времени на часы, минуты, секунды.

Другие люди, например майя, развили двадцатеричную систему. В наше время доминирует десятичная система счисления, а в компьютерах используется двоичная.
1.1.1. Двоичная система

Пример: $423=110100111:$
$110100111=2^{8}+2^{7}+0 * 2^{6}+2^{5}+0 * 2^{4}+0 * 2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0}$.
Таблица умножения:

Недостаток – длинная запись числа.
1.1.2. Четверичная и восьмеричная системы
$423=110100111-$ двоичная система.
$423=12213-$ четверичная система:
$423=1 * 4^{4}+2 * 4^{3}+2 * 4^{2}+1 * 4^{1}-3 * 4^{0}$.
$423=647=6 * 8^{2}+4 * 8^{1}+7 * 8^{0}$ – восьмеричная система.
1.1.3. Троичная система
\[
423=1 * 243+2 * 81+2 * 9=1 * 3^{5}+2 * 3^{4}+0 * 3^{3}+2 * 3^{2}+0 * 3^{1}+0 * 3^{0}
\]

Итак, 423 равно 120200 в троичной системе. В этой системе таблица умножения лишь немного сложнее, чем в двоичной:

Рассмотрим дендрит, представленный на рис. 1.2 Структура этого дендрита основана на троичной системе. Из одной точки под углом $120^{\circ}$ друг к другу выходят три главные ветви. Каждый из трех концов сам является точкой, из которой выходят три более мелкие ветви, и т. д. Направление вправо мы помечаем «0», направление влево-вверх «1», влево-вниз – «2».
Рис. 1.2. Схема троичного дерева
Используя данный алгоритм, можно построить троичное дерево на компьютере (рис. 1.3, где число шагов $p=6$ ).