Жорданово определение линии оказалось неудачным не только потому, что под него попадали объекты совсем непохожие на линии, но и потому что существуют континуумы, которые естественно рассматривать как линии, но которые, будучи локально связными, не являются непрерывным образом отрезка. Таков, например, континуум, определяемый графиком функции $y=\sin \frac{1}{x}, 0<x \leq 1$, с предельным отрезком $x=0,-1 \leq y \leq 1$.

Общее определение линии на плоскости было дано Кантором в 70 -е годы XIX века.
Определение 11.6: Плоский континуум, не содержащий внутренних точек, то есть континуум, в любой окрестности каждой точки которого имеются не принадлежащие ему точки плоскости, называется канторовой кривой.
Важным примером канторовой кривой является ковер Серпинского. На $n$-м шаге получаем $8^{n}$ квадратов со стороной $(1 / 3)^{n}$. Пересечение полученных таким образом множеств называется ковром Серпинского $S$.
Рис. 11.2. последовательные приолижения ковра Серпинского

Ковер Серпинского является локально связным континуумом и, следовательно, по теореме Хана-Мазуркевича, может быть представлен в виде непрерывного образа отрезка. Он является универсальным для канторовых кривых, то есть, какова бы ни была канторова кривая $L$, она может быть топологически вложена в ковер Серпинского $S$, то есть в $S$ содержится континуум $L^{\prime}$, гомеоморфный $L$.

Стандартный ковер Серпинского $S$ получен из единичного квадрата плоскости выбрасыванием открытого множества полной меры, то есть мера $S$ равна нулю (мера множества, остающегося после $n$ шагов равна $\left.(8 / 9)^{n}\right)$.