В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, часто игнорировались как «патологические» и не стоящие изучения.

В последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, ибо нерегулярные функции (множества) обеспечивают значительно лучшее представление многих природных явлений, чем те, которые дают объекты классической геометрии.

Фрактальная геометрия связана с изучением таких нерегулярных множеств [2]. Основной объект фрактальной геометрии — фракталы — находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации. Столь популярные ныне фрактальные объекты — порождение нашего компьютерного мира, и их сфера применения еще до конца не раскрыта.

В последние 20 лет фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга франко-американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» [1]. Что же такое фрактал? В настоящее время нет однозначного определения «фрактала». Следуя Лаверье [3], фрактал — это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований), будем называть конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал — это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной «точкой» — фракталом.

Наряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похожи на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и, в первую очередь, в дискретных динамических системах. Их построение не так просто, как в случае конструктивных фракталов, и они могут обладать масштабной инвариантностью лишь приближенно. Подобные множества будем называть динамическими фракталами. В связи с этим Мандельброт ввел другое определение фрактала. Фрактал — это такое множество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической.

Естественно, это определение требует уточнения, и мы сделаем это ниже. В первом определении слово «фрактал» — это от латинского «fractus», означающее изломанный. Во втором определении оно связано с английским «fractional» — дробный.

В последние годы появилось большое число книг (в основном, на Западе), посвященных фракталам (см., например, [1-3, 7,15-18]). В этих книгах приводятся фракталы, полученные с помощью компьютера. И эти фрактальные картины впечатляют. В связи с этим, говоря о фракталах, довольно часто используют термины: «компьютерное искусство», «художественный дизайн», «эстетический хаос». На рис. 0.1 приведен динамический фрактал Мандельброта — это граница черной области.

Примером конструктивного фрактала может служить дерево, ствол которого разделен на две более мелкие ветви. В свою очередь, каждая из этих ветвей разделяется на две более мелкие ветви и т. д. В уме мы можем проделать эту процедуру бесчисленное число раз и получить древовидный фрактал с бесконечным числом ветвей. Каждую отдельную ветвь можно, в свою очередь, рассматривать как отдельное дерево. Эта конструкция имеет сходство с двоичной системой счисления. Другой пример фрактала — это множество Кантора. Это не только один из самых старых фракталов, он является так же существенной частью многих современных фракталов, например, таких, как кривые Коха и Минковского.

Одним из первых описал динамические фракталы в 1918 году французский математик Гастон Жюлиа в своем объемном труде в несколько сотен страниц [8]. Но в нем отсутствовали какие-либо изображения. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено во времена Жюлиа. Визуальные компьютерные результаты превзошли все ожидания.
Рис. 0.1. Фрактал Мандельброта
Понятие «фрактал» уже доказало свою пользу в ряде прикладных областей. Например, если вводить случайное возмущение в регулярный математический древовидный фрактал, можно добиться сходства с настоящим деревом. Фракталы используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например при анализе колебаний курса валют в экономике. Они применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред и т.д.

В настоящее время фракталы используются для сжатия изображений. Идея фрактального сжатия состоит в нахождении в изображении подобных областей и сохранении в файле только коэффициентов преобразований подобия. Например, в качестве таких областей можно брать квадратные области. Набор преобразований подобия — это сдвиг, отражение, поворот и изменение яркости с контрастностью. Сжатие происходит в случае, если коэффициенты преобразований займут места меньше, чем исходное изображение.

Структуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в окружающей нас природе: границы облаков, границы морских побережий, турбулентные потоки в жидкостях, трещины в некоторых породах, зимние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полученные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сердечной мышцы и т.д.

Чтобы прояснить неточные определения конструктивных и динамических фракталов, укажем основные свойства фрактальных множеств $F$, следуя [2]:
1. F имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы;
2. $F$ слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционном геометрическом языке;
3. $F$ имеет некоторую форму самоподобия, допуская приближенную или статистическую;
4. Обычно «фрактальная размерность» множества $F$ больше, чем его топологическая размерность;
5. В большинстве интересных случаев $F$ определяется очень просто, например, рекурсивно.
В данном пособии рассматриваются в основном «плоские фракталы» (включая фракталы Кантора, которые интерпретируются на отрезке). Исключение составляет глава 9 «Элементы гиперкомплексной динамики». Рассмотрение объемных фракталов более сложно и заслуживает отдельного рассмотрения (хотя некоторые типы конструктивных фракталов нетрудно обобщить с двумерного случая на трехмерный, см., например, в [1] ). Фрактальным поверхностям посвящена книга Русса [16]. В недавно вышедшей на русском языке книге Кроновера [18] рассматривается проблема хаотичности некоторых фракталов (систем итерированных функций-СИФ). Основным объектом этой книги являются дискретные динамические системы. Конструктивные фракталы, получающиеся с помощью рекурсивной процедуры (как правило — это СИФ, см. гл. 4), являются неподвижной точкой некоторого сжимающего оператора (порожденного СИФ). Подробнее об этом можно прочитать в [18].

В последние годы появился термин «мультифракталы» — это так называемые, неоднородные фракталы, определяемые не одним параметром — фрактальной размерностью, а спектром таких размерностей (см., например, [19]).

Начнем изложение с наиболее простого и в то же время играющего важную роль в понимании теории фракталов раздела «Конструктивные фракталы». Из многообразия литературы по этому вопросу наиболее удачной в методическом плане является книга Лаверье [3]. Изложение этого раздела с незначительными изменениями следует этой книге. Рисунки, представленные в этом разделе, в основном повторяют рисунки из книги [3] и были получены, в большей части, с помощью программы «Fractals», paзработанной автором данного пособия и его учениками.