Проиллюстрируем сжатие-отражение на примере построения кривой Коха. На рис. 4.12 показаны первые фазы построения кривой Коха.
Рис. 4.12. «Сжатие-отражение» во фрактале Коха
Линия, соединяющая точки $0,2,4,6,8$, имеет такую же форму, что и линия, соединяющая точки $0,4,8,12,16$ первой фазы. Только теперь она отражается и сжимается. Показатель сжатия $1 / \sqrt{3}$. Это преобразование описывается формулой (4.15) с $c=d=0$. Коэффициенты $a$ и $b$ равны координатам точки $8: a=1 / 2, b=1 / 2 \sqrt{3}$.

Итак, кривая Коха инвариантна относительно преобразования (4.15) (с центром в точке $(0,0)$ ). Аналогично можно написать преобразование «отражение-сжатие» относительно точки $(1,0)$. Мы можем тогда записать оба преобразования в виде:
\[
L:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{1}{2} x+b y \\
y^{\prime}=b x-\frac{1}{2} y,
\end{array} \quad R:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{1}{2} x-b y+\frac{1}{2} \\
y^{\prime}=-b x-\frac{1}{2} y+b
\end{array}\right.\right.
\]
c $b=1 /(2 \sqrt{3})$.

Примеры:
1) $L: a=1 / 2, b=\sqrt{3} / 6=0.2887$, $R: a=2 / 3, b=0$.

Результат приведен на рис. 4.13 ( $p=17$ ).
2) $L$ : – поворот-растяжение с $a=b=0.4641$, $R$ : – сжатие-отражение с $c=0.6222, d=-0.1965$.

На рис. 4.14 ( $p=17$ ) показан соответствующий фрактал типа дендрит.
3)
\[
L:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{x+y}{2} \\
y^{\prime}=\frac{x-y}{2},
\end{array} \quad R:\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{3 x-y+2}{5} \\
y^{\prime}=\frac{-x-3 y+1}{5}
\end{array}\right.\right.
\]

Результат на рис. 4.15 ( $p=17$ ).
Попробуйте написать программу, использующую формулы вида (4.15).
Рис. 4.13. Фрактал, полученный с помощью «сжатия-отражения»

Рис. 4.14. Фрактал, полученный с помощью «поворота-сжатия» и «сжатия-отражения»
Рис. 4.15. Фрактал, полученный с помощью двойного «сжатияотражения»