Можно выделить три типа плоских спиралей (раскручивающуюся, Архимеда и роста), из которых для наших целей самой важной является спираль роста. Остановимся кратко на двух других типах спиралей: 1) раскручивающаяся спираль, 2) спираль Архимеда.
1) Раскручивающаяся спираль (рис. 3.1). Когда мы разматываем нить с катушки, держа ее все время натянутой, то конец нити описывает спираль. Читатель, используя рис. 3.1, легко сможет представить именно тот случай, о котором мы говорим. Декартовы координаты точки $P$ на спирали находятся по формулам:
\[
\begin{array}{l}
x=a(\cos \varphi+\varphi \sin \varphi) \\
y=a(\sin \varphi-\varphi \cos \varphi)
\end{array}
\]

где $(a, \varphi)$ – полярные координаты точки $A$ на катушке (черный круг на рис. 3.1), $(x, y)$ – координаты точки $P$ (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Раскручивающаяся спираль
2) Спираль Архимеда (рис. 3.2).
В полярных координатах уравнение спирали Архимеда имеет вид:
\[
r=a \varphi,
\]

где $a>0$ – постоянное число, определяющее расстояние между соседними витками.
Рис. 3.2. Спираль Архимеда
3) Спираль роста (логарифмическая спираль).
В полярных координатах спираль роста имеет вид:
\[
\ln r=a \varphi
\]

Рис. 3.3. Три последовательные точки логарифмической спирали
Для логарифмических спиралей справедливо соотношение:
\[
\ln \frac{r_{3}}{r_{2}}=\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}, \text { или } \frac{r_{3}}{r_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}, \text { или } r_{2}^{2}=r_{1} r_{3} .
\]

Следовательно, $r_{2}$ является средним геометрическим $r_{1}$ и $r_{3}$. Иначе говоря, полярные радиусы $r_{1}, r_{2}, r_{3}, \ldots$ последовательных точек логарифмической спирали $P_{I}, P_{2}, P_{3}, \ldots$ при увеличении полярных углов на постоянную величину «а» образуют геометрическую последовательность.
Уравнение логарифмической спирали можно записать в виде:
\[
r=\exp (a \varphi) \text {. }
\]

Поэтому при $a>0$ спираль раскручивающаяся, при $a<0-$ скручивающаяся, при $a=0$ – окружность. Более общая форма для логарифмической спирали имеет вид:
\[
r=r_{0} \exp (a \varphi),
\]

где $r_{0}$ – некоторая постоянная.
Логарифмическая спираль приводила в изумление художников и математиков. Знаменитый швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 – 1705) изучал ее и назвал «spira mirabilis» (лат.) – чудесной спиралью. Он обнаружил самоподобие этой спирали: изменение масштаба спирали дает такой же результат, что и вращение спирали как целого. Действительно, поворот спирали на угол $\gamma$ означает замену $\varphi$ на $\varphi-\gamma$. Поэтому
\[
r=r_{0} \exp (a(\varphi-\gamma))=r_{0} \exp (-a \gamma) \exp (a \varphi)=\overline{r_{0}} \exp (a \varphi) .
\]

То есть получаем ту же спираль, но в другом масштабе. Бернулли это свойство казалось таким удивительным, что на его надгробии в соборе Базеля начертаны слова «Eadem mutata resurgo» (преобразованный, я восстану снова неизменным).