Фракталы можно определить как множества точек, инвариантных относительно полугруппы сжатий.

В самом простом случае сжатие – это масштабное уменьшение с вращением или без него и задается линейным преобразованием плоскости $(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow\left(\mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}\right)$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=a x+b y \\
y^{\prime}=c x+d y
\end{array}, \quad \mathrm{~A}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\right.
\]

Преобразование (4.1) с матрицей А будем для краткости обозначать буквой $T$. При
\[
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
a-1 & b \\
c & d-1
\end{array}\right)
eq 0
\]

преобразование (отображение плоскости в себя) имеет единственную неподвижную точку $x^{\prime}=x=0, \quad y^{\prime}=y=0$.

Тип неподвижной точки $O(0,0)$ определяют корни характеристического уравнения
\[
\mu^{2}-(a+d) \mu+\Delta=0, \quad \Delta=\operatorname{det} A
\]

или
\[
\operatorname{det}(A-\mu E)=0 .
\]
1) В случае $\left|\mu_{1}\right|<1,\left|\mu_{2}\right|<1$ точка $O$ – устойчивая;
2) при $\left|\mu_{1}\right|<1,\left|\mu_{2}\right|>1$ – седловая (гиперболическая);
3) при $\left|\mu_{1,2}\right|=1$ – эллиптическая;
4) при $\left|\mu_{1}\right|>1,\left|\mu_{2}\right|>1$ – неустойчивая.

Говорят, что отображение $T$ сохраняет площадь, если $|\operatorname{det} \mathrm{A}|=1$. Поэтому, когда $\left|\mu_{1}\right| \cdot\left|\mu_{2}\right|=1$, то отображение $T$ сохраняет площадь. Сохраняющее площадь отображение может иметь лишь точки эллиптического или гиперболического типа.

Можно рассматривать произведение двух или большего числа отображений $T$. Например, если точка $M_{1}(x, y)$ под действием отображения $T$ переходит в точку $M_{2}(x, y)$, а точка $M_{2}(x, y)$, в свою очередь, переходит в точку $M_{3}(x, y)$, то мы можем записать $M_{2}=T M_{1}, M_{3}=T M_{2}$ или $M_{3}=T\left(T M_{1}\right)=T^{2} M_{1}$.
Рассмотрим подробнее отображение, сохраняющее площадь.
Рис. 4.1. Отображение, сохраняющее площадь
Теорема 4.1: Существует линейное невырожденное преобразование $(x, y) \rightarrow\left(\hat{x}, \hat{y}\right.$ ) приводящее (4.1) при $\Delta=1,\left|\mu_{1}\right|=\left|\mu_{2}\right|=1$ к виду:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\hat{x}^{\prime}=\hat{x} \cos \alpha-\hat{y} \sin \alpha \\
\hat{y}^{\prime}=\hat{x} \sin \alpha+\hat{y} \cos \alpha
\end{array},\right.
\]

где $\alpha$ – параметр (угол поворота).