Мы построили много различных кривых, обладающих самоподобием. Сравним одну из них, кривую Коха, с береговой линией западного Британского побережья. В действительности береговые линии созданы по капризу природы, и есть случайность в этом созидательном процессе.

Если интерпретировать самоподобие статистически, то получим более реалистические картины. Подобная теория достаточно сложна. Однако построить статистические фракталы с помощью компьютера достаточно просто, ибо компьютер позволяет получать псевдослучайные последовательности чисел.

Некоторые из методов, основанных на случайностях, называют методами Монте-Карло. Более широкое и формальное название — стохастические методы. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Итак, в этом разделе вы увидите, как можно менять фракталы с помощью введения случайности. Мы будем говорить о случайных фракталах в связи с броуновским движением. Термин «броуновское движение» происходит от биолога Роберта Брауна ( 1773 — 1858), который наблюдал, как микроскопические частицы двигаются изменяющимися курсами. В связи с броуновскими движениями в теории фракталов возник термин «броуновские фракталы» (подробности см., например, в [18]).

В предыдущей главе мы обсуждали конструкцию фрактала с древовидной структурой (см., например, рис. 4.6). Начиная от начальной точки $P$ новые точки получаются в результате применения двух преобразований $L$ и $R$. Для каждого конкретного фрактала имеем конкретную последовательность этих преобразований. Сейчас мы поступим по-другому. Мы образуем случайную последовательность из точек $P_{0}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots$ Каждая точка получается из предыдущей с помощью применения к ней преобразования $L$ или $R$, причем каждое из этих преобразований выбирается случайно, с вероятностью 0.5 , т. е.:
\[
P_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}
\text { или } \mathrm{LP}_{\mathrm{n}} \\
\text { или } \mathrm{RP}_{\mathrm{n}}
\end{array} .\right.
\]

На компьютере это можно организовать, используя датчик псевдослучайных чисел $r n d$, например, так:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{IF} \mathrm{nd}<1 / 2 \operatorname{THEN} \mathrm{P}(\mathrm{n}+1)=\operatorname{LP}(\mathrm{n}) \quad \text { ELSE } \\
\mathrm{P}(\mathrm{n}+1)=\operatorname{RP}(\mathrm{n})
\end{array}
\]

Пример 5.1: Пусть
\[
L=\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=-y \\
y^{\prime}=x
\end{array} \quad R=\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=1+\frac{a(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}+1} \\
y^{\prime}=\frac{a y}{(x-1)^{2}+y^{2}+1}
\end{array}\right.\right.
\]

Рис. 5.1. Фрактал, полученный с помощью двух преобразований на основе метода Монте-Карло

Положим, например, $a=2.8$. Здесь $L-$ поворот на $90^{\circ}$ относительно точки $(0,0)$, а $R$ — «растяжение» относительно точки $(1,0)$ с переменным показателем, который зависит от расстояния от центра $(1,0)$. Полученный случайный фрактал показан на рис. 5.1 ( $p=6$ ). Фигура симметричная, что можно использовать при счете.

Пример 5.2: Вводя случайность в качестве малых возмущений при построении фракталов, мы можем представить фракталы в виде моделей природных объектов типа деревьев, растений, кораллов и др. В качестве иллюстрации построим обдуваемое ветром дерево Пифагора (рис. 5.3; сравните с рис. 3.4).

Основной фрагмент — это ствол, изображенный на рис. 5.2. Боковые ветви присоединяются в местах $A B$ и $B C$. Положим: $A=(0, a)$, $B=(0.5, a+0.5), C=(1, a)$. Пусть $a=3$.

Фрагмент ствола копируется подобным образом с уменьшением масштаба. Случайность вносится при присоединении уменьшенного фрагмента ствола, например, так $a \rightarrow a[1+\omega(\mathrm{rnd}-1 / 2)]$. Полагая $\omega=0.1$, получаем рис. $5.3(p=12)$.
Рис. 5.2. Ствол дерева Пифагора

Рис. 5.3. «Обдуваемое ветром» дерево Пифагора
Обратимся теперь к броуновскому движению.
В 1828 г. шотландский биолог Роберт Браун ( 1773 — 1858) открыл необычное явление. Когда он смотрел в микроскоп на маленькие частицы, плавающие в жидкости, он был поражен тем фактом, что частицы совершали крошечные, переменчивые по направлению, непредсказуемые движения.

Этот феномен был объяснен значительно позднее, в начале нашего века, когда зародились квантовая механика и статистическая физика. Молекулы жидкости совершают тепловое нерегулярное движение, которое становится более сильным при возрастании температуры. Молекулы непрерывно отскакивают от более крупных частиц, которые наблюдаются в микроскоп. Это и заставляет частицы изменять направление движения.

Понятие фрактальной кривой помогает нам сформировать отпечаток траектории частицы при броуновском движении. Эта траектория похожа на трехмерную береговую линию с изгибами в любых масштабах. Следуя Мандельброту, можно расширить понятие «фрактал» до геометрической структуры со статистическим самоподобием. Тогда путь микроскопических частиц при тепловом движении- это броуновская фрактальная кривая.