Проделаем следующую процедуру. Сложим полоску бумаги поперек вдвое. Повторим это дважды. После развертывания получим полоску, состоящую из восьми кусков (см. рис. 2.21). Посмотрев на эту полоску в профиль, мы увидим ломаную линию. Этот эксперимент по сгибанию бумаги можно продолжить, но не очень долго.
Рис. 2.21. Последовательность сложений полоски бумаги
Пусть угол в каждом сгибе один и тот же. Обозначим его через $\alpha$. На каждой складке мы поворачиваем «влево» или «вправо». Введем параметр $d$, который принимает два значения: $d=1$ (соответствует повороту влево), $d=-1$ (соответствует повороту вправо). Тогда получаем следующие последовательности:

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d}(16)=d(8)=d(4)=d(2)=d(1)=1 \\
d(12)=d(6)=d(3)=-1 \\
d(10)=d(5)=1
\end{array}
\]

Следовательно, имеем следующие правила:
\[
\begin{array}{l}
d(n)=1, \quad n=1+4 m, \quad m=0,1,2,3, \ldots \\
d(n)=-1, \quad n=3+4 m, \quad m=0,1,2,3, \ldots \\
d(n)=d(n / 2), \quad n=2 m, \quad m=1,2,3, \ldots
\end{array}
\]
2.6.1. Кривая «Дракона»

Следуя правилу, приведенному выше, мы можем нарисовать ломаную линию, которая получается в результате сгибания полоски любое число раз.

Рис. 2.22 показывает ломаную линию с углом $\alpha=100^{\circ}$ при вершине и $p=6$. Эта фигура состоит из 64 отрезков. Если положить $\alpha=90^{\circ}$ и начало линии в точке $(0,0)$, а конец – в $(1,0)$, то получим кривую Дракона, изображенную на рис. 2.23 для $p=14$ ( $2^{14}=16384$ отрезков $)$.

Ломаная линия на рис. 2.23 ( $p=14$ ) показалась похожей ее первооткрывателю Дж. Хайверу на китайских драконов, поэтому она и получила название кривой Дракона. Эта ломаная не пересекает саму себя и, кроме того, она регулярно заполняет часть плоскости (занятой драконом).
Рис. 2.22. Часть кривой «Дракона»

Рис. 2.23. Кривая «Дракона»

Можно немного скруглить углы, как показано на рис. 2.24.
Рис. 2.24. Скругление кривой «Дракона»
При $p=11$ получим кривую, изображенную на рис. 2.25.
Рис. 2.25. Сглаженная кривая «Дракона»