1.9. Характеристика нелинейной модели пространственного движения МПО

Уравнения (1.35), вытекающие из теоремы об изменении количества движения и момента количества движения, совместно с уравнениями связи поступательного движения центра масс МПО (1.15) и вращательного движения относительно центра масс (1.5) с учетом проекций внешних сил и моментов на связанные оси, специфических для конкретных типов МПО (см. параграф 1.8), образуют единую систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих пространственное движение МПО. Систему составляют дифференциальные уравнения первого порядка, каждое из которых содержит только одну производную какого-либо одного кинематического параметра. Так, уравнения равновесия сил относительно связанных осей координатной системывсодержит производные составляющих линейной скорости объекта . В уравнениях равновесия моментов относительно осей у, содержатся производные проекций угловой скорости МПО . Дифференциальные уравнения связи записаны относительно производных линейных координат центра масс МПО и углов Эйлера .

Выделив производные в левую часть уравнений, можно представить математическую модель динамики движения МПО в форме Коши и

записать ее в виде одного нелинейного матричного дифференциального уравнения общего вида

где - матрицы-столбцы (векторы) переменных состояния объекта, управляющих и возмущающих воздействий, состоящие из произвольного числа элементов; нелинейная векторная функция, представляющая собой матрицу-столбец скалярных нелинейных функций, общее число которых совпадает с числом переменных состояния

Поведение МПО характеризуется кинематическими параметрами. Поэтому переменными состояния модели движения выступают проекции угловой и линейной скоростей, углы рыскания, крена и дифферента, а также линейные координаты центра масс. Вектор состояния, характеризующий полное пространственное движение объекта, содержит 12 составляющих

.

Управления составляют переменные величины, характеризующие эффективность соответствующих технических средств корабля. Ими могут быть проекции сил и моментов, развиваемые исполнительными органами систем управления МПО или углы перекладки гидродинамических рулей поворота лопастей винтов и винтовых колонок частота вращения винтов движителей и т. п. Общее число компонент вектора управления произвольно и зависит от состава технических средств конкретного корабля.

Внешние ветро-волновые возмущения, действующие на МПО, определяют содержание вектора Его составляют проекции сил и моментов течения, ветра и волнения моря. Он может также формироваться непосредственно скоростями ветра и течения, волновой ординатой, углом волнового склона и т. п.

Нелинейный характер дифференциальных уравнений (1.45) вызван присутствием в них нелинейных зависимостей типа тригонометрических функций от углов Эйлера, которые образуют кинематические матрицы В и в уравнениях связи. Другой вид нелинейных соотношений - произведения угловых и линейных скоростей (произведение переменных состояния) появляется в уравнениях динамики (1.35) в связи с тем, что они записываются в подвижных координатных осях. Наконец, в

уравнении (1.45) присутствуют нелинейные функциональные зависимости, определяющие изменение гидроаэродинамических сил и моментов при переменных кинематических параметрах движения (1.37).

Полная математическая модель пространственного движения МПО, содержащая двенадцать нелинейных дифференциальных уравнений, мало пригодна для исследования систем управления МПО. Ее анализ настолько сложен, что даже использование современных цифровых вычислительных машин дает численное решение для ограниченного числа случаев, которые не позволяют восстановить общую картину процессов управления движением. Еще большие трудности возникают при синтезе систем управления, который требует многократного решения уравнений (1.45). И дело даже не в затратах машинного времени. Структура и алгоритмы систем управления непосредственно зависят от структуры исходных математических моделей. Синтез по упрощенным моделям приводит к более простым структурным решениям, доступным для технической реализации, и технологичным в изготовлении и настройке. Причем упрощения систем заметных потерь с точки зрения качества управления не вызывают. В связи с этим вопросы упрощения математического описания движения МПО весьма важны. Решение достигнуто путем перехода к линейным моделям и разделением движений.

Теория линейных систем управления, базирующаяся на линеаризованных дифференциальных уравнениях, разработана в настоящее время достаточно глубоко. С ее помощью решают многие задачи, возникающие при проектировании и исследовании систем управления МПО. Линеаризованные модели позволяют исследовать режимы стабилизации, для которых характерны небольшие отклонения кинематических параметров возмущенного движения от стационарного невозмущенного состояния. Более сложные режимы маневрирования МПО могут быть исследованы с помощью совокупности (континуума) линейных моделей.

Следующий этап упрощения модели движения МПО заключается в раздельном анализе элементарных движений.

Практическими инженерными расчетами, опытом и экспериментальными исследованиями, установлено, что диапазон изменения кинематических параметров для большинства объектов и многих режимов движения ограничен значениями, при которых взаимное влияние переменных, характеризующих различные степени свободы твердого тела, не имеют определяющего значения. Это позволило выделить для самостоятельного исследования из общего пространственного движения бортовую, килевую и вертикальную качки, поступательное продольное движение, рыскание корабля и боковой снос. Каждое из этих элементарных движений описывается дифференциальными уравнениями 2-го порядка, решение которых досконально изучено.

Именно упрощенные модели открывают путь к успешному решению задач исследования и проектирования систем управления движением МПО.