3.6. Кажущиеся спектры морского волнения

Кажущимися спектрами волнения называют спектральные характеристики волнового возмущения, определенные с учетом взаимного движения объекта и волн, а также соотношения их геометрических размеров. Кажущиеся или приведенные спектры определяют характер изменения волновой ординаты и угла волнового склона, приведенных непосредственно к кораблю и оцениваемых с позиции находящегося на нем наблюдателя.

Рис. 3.16. Частотное преобразование спектра волнения

Изменение спектра волнового возмущения по отношению к натуральному спектру волнения объясняется тем, что при движении корабля каждая элементарная гармоническая волна воспринимается не со своей истинной частотой , а с кажущейся со, связь между которыми определяется (3.7) По этой причине происходит частотное преобразование спектра. Наблюдается амплитудное преобразование спектра, так как возмущением для корабля являются не истинные, а приведенные углы волнового склона (3.8), рассчитываемые по редукционным коэффициентам, которые зависят от соотношения геометрических размеров корабля и волны.

На рис. 3.16 показан порядок преобразования спектральных характеристик волнения, связанного с переходом от реальной частоты к кажущейся, При этом преобразовании смещается частота максимума кажущегося спектра согласно (3.7)

Изменяется также величина максимума, так как энергия, определяемая по истинному и преобразованному спектрам одна и та же, должны сохраняться значения дисперсии, найденные по каждому из них:

При встречной волне (см. рис. 3.16, а) спектр воздействия располагается в области более высоких частот и становится шире спектра волнения. Чтобы при этом сохранялось условие (3.19), его максимум должен быть меньше (при построении вспомогательной кривой В это не учитывалось).

При попутной волне изменение вида спектра более сложное и различно в зависимости от фактора относительного движения корабля на волне Однозначные кажущиеся спектральные характеристики получаются только в том случае, если истинный спектр волнения расположен в области частот или .

В первом случае (рис. 3,16, б) спектр воздействия сужается и смещается в область низких частот, его максимум увеличивается. Энергия передается на частотах, близких к частоте максимума. Характер возмущения приближается к регулярному. Во втором случае возможно расширение спектра и смещение его в область высоких частот подобно тому, как это происходит при встречном волнении.

Расширение спектра и уменьшение величины его максимума свидетельствуют об усилении нерегулярности возмущения, энергия которого передается гармониками различных частот.

Наиболее сложный неоднозначный вид спектра воздействия оказывается, когда максимум морского волнения расположен в области частот вблизи . В этом случае может иметь разрывы первого и второго рода. Экспериментальные исследования подтверждают появление резких выбросов в кажущихся спектрах воздействия.

Сложный вид кажущихся спектральных характеристик возмущения, обусловленных нерегулярным морским волнением, требует их аппроксимации в математической форме, простой и удобной для расчетов систем управления движением МПО. Универсальные методы аппроксимации отсутствуют. Можно указать на некоторые подходы, которые достаточно хорошо зарекомендовали себя в практических инженерных расчетах. Они базируются на следующем: во-первых, преобразование спектра не связано с изменением дисперсии волнения, во-вторых, вид кажущегося спектра подобен исходному и частота максимума смещается согласно (3.18). При этих допущениях осуществляется линейное преобразование частоты спектра , когда коэффициент выбирают по частоте максимума. Тогда дробно-рациональные спектры волнения преобразуются в кажущиеся заменой в аналитических выражениях коэффициентов и на их кажущиеся значения и .

Пример 3.3. Предположим, что корабль движется со скоростью навстречу волне при состоянии моря 4 балла. Требуется рассчитать кажущийся спектр волновой ординаты в форме (3.14).

Использовав результаты расчета волновой ординаты при 4 баллах из примера 3.2, определив и подставив в (3.14) вместо и вместо получим для кажущегося спектра

Амплитудное преобразование спектра волнения, обусловленное соизмеримыми геометрическими размерами волны и корабля, можно осуществить с помощью редукционных коэффициентов по аналогии с тем, как рассчитывались при регулярном волнении амплитуды приведенных углов волнового склона. Каждый редукционный коэффициент зависит от длины волны и, следовательно, от частоты. Поэтому его можно рассматривать как амплитудно-частотную характеристику некоторой линейной системы. Как правило, в соответствии с видом редукционных коэффициентов (см. рис. 3.10) эта линейная система представляет собой низкочастотный фильтр.

В соответствии с правилами преобразования спектра случайного стационарного сигнала в линейной системе можно по аналогии с (3.8) получить спектральные характеристики приведенных к объекту продольной и поперечной составляющих угла волнового склона:

Выражения (3.20) определяют энергетические свойства случайных стационарных функций изменения приведенных составляющих угла волнового

склона, которые можно использовать в качестве внешнего волнового воздействия при расчетах возмущенного движения МПО на нерегулярном волнении.

На практике удобно, пользуясь (3.20) рассчитывать численные спектры приведенных воздействий, которые обычно имеют колоколообразную форму. Часто такие спектры могут быть аппроксимированы дробно-рациональной функцией вида:

где - значение и частота максимума спектра; - ширина спектра, определенная по уровню половинной мощности: .

Рис. 3.17. Пример аппроксимации спектра волнения

Легко убедиться, что сигнал со спектром (3.21) получается в результате преобразования единичного белого шума линейным фильтром с передаточной функцией (3.16). Сопоставление (3.16) и (3.21) позволяет аналитически определить некоторые характеристики приведенного волнового воздействия, в частности, его дисперсию Для этого используются соотношения

Представив спектр (3.21) через параметры по правилам перехода к кажущейся частоте, можно получить окончательную форму кажущегося спектра приведенного волнового воздействия.

На рис. 3.17 приводится пример аппроксимации (кривая 2) спектра (кривая 1) выражением

Используя (3.22), находим

При условиях движения МПО, взятых из примера 3.3, переведем спектр в кажущиеся частоты. Для этого определим

.

В соответствии с (3.14) получаем окончательный вид кажущегося спектра

Соответственно передаточная функция формирующего фильтра приведенного волнового воздействия согласно (3.16)

Формирующий фильтр может быть определен не только передаточной функцией , но и дифференциальными уравнениями. Существуют различные способы преобразования передаточных функций вида

к уравнениям в переменных состояния.

Нормальная форма уравнений получается, если в качестве переменных состояния принять выходной сигнал фильтра и его интеграл . Обозначая входной сигнал фильтра (единичный белый шум) через , после элементарных преобразований приходим к выражению