6.4. Базовые алгоритмы исследовательского проектирования СУМПО

В соответствии с содержанием пакета прикладных программ к числу базовых алгоритмов исследовательского проектирования систем управления движением относят алгоритмы формирования линейной модели движения МПО и ее предварительного анализа, алгоритмы синтеза линейных регуляторов и анализа синтезированных структур. За пределами этого набора алгоритмов оказывается только исследование нелинейных задач управления движением МПО, каждая из которых (например, определение областей устойчивости при проектировании автоматических систем предотвращения аварий) достаточно специфична и требует своего состава алгоритмов решения.

Традиционные алгоритмы формирования линейных моделей базируются на расчете совокупности балансировочных режимов с последующим разложением в ряд Тейлора. При этом переход от нелинейной модели движения

к набору линейных

требует расчета балансировочных режимов по условию

и вычисления якобианов

в этих точках. В вычислительном отношении обе задачи достаточно сложные, с большими затратами машинного времени и требуют значительного объема оперативной памяти. Первая требует решения нелинейного функционального уравнения, вторая - определения большого числа частных производных.

Алгоритмы синтеза линейных регуляторов могут базироваться на одном из двух методов: решении уравнений Риккати или аналитическом конструировании по методу устойчивых экстремалей. Расчетная схема аналитического конструирования применительно к задачам управления движением подробно изложена в гл. 5. Существенный недостаток второго подхода необходимость вычисления собственных векторов матриц удвоенной размерности .

Нелинейное уравнение Риккати в вычислительном отношении также достаточно сложное, так как содержит неизвестных. Однако его решение может быть получено проще, благодаря хорошей сходимости расчетных алгоритмов.

Для решения нелинейного матричного алгебраического уравнения Риккати

при синтезе линейных регуляторов стационарных систем размерности до можно применять алгоритм Ньютона-Рафсона, который основан на многократном итерационном решении линейного матричного уравнения типа Ляпунова. Однако в ряде случаев серьезную задачу может представить выбор начального приближения , при котором итерационный процесс сходится к искомой матрице . Кроме того, при увеличении возможны численные сложности с решением уравнения Ляпунова и требуется бльшой объем оперативной памяти, так как необходимо решать систему линейных уравнений размерности .

В значительной степени указанные недостатки могут быть устранены при применении алгоритма, основанного на том, что решение уравнения Риккати для стационарных систем является асимптотическим решением дифференциального уравнения

Это позволяет получить результат с помощью любых стандартных алгоритмов численного интегрирования, не накладывая никаких ограничений на локальные ошибки усечения. Сходимость алгоритма обеспечивается выбором алгебраической величины шага интегрирования. В результате с увеличением количества итераций уменьшается общая ошибка, связанная с выбором начального приближения дискретизацией и округлением, возникающими при численном решении.

Этот же алгоритм позволяет получить решение для матричного линейного уравнения Ляпунова (6.6), используемого при расчете дисперсий, которое является частным случаем уравнения Риккати с вырожденным квадратичным слагаемым.

На базе этих вычислительных процедур строят алгоритмы синтеза линейных регуляторов и наблюдателей полного порядка, анализа синтезированных систем стабилизации движения МПО с расчетом математических ожиданий кинематических параметров движения и управляющих воздействий, а также их дисперсий.

Общая структурная схема базовых алгоритмов автоматизированного исследовательского проектирования СУД приведена на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Базовые алгоритмы иссле­довательского про­ектирования СУ МПО.