5.9. Параметрическая оптимизация регуляторов

В составе систем управления движением широкое распространение получили регуляторы, построенные по принципу в которых сигнал управления формируется на основании информации об одном выходном кинематическом параметре движения. К таким регуляторам относятся пропорциональный и пропорционально-дифференциальный (ПД) регуляторы, используемые в системах стабилизации качки

пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор, на основе которого строятся авторулевые

а также релейные регуляторы с линейными обратными связями, в которых реализуется скользящий режим

работающие с электрогидравлическими приводами механизмов исполнительных органов. Уступая в определенной степени регуляторам состояния по статическим и динамическим показателям качества регулирования и грубости замкнутой системы, эти регуляторы требуют для своей реализации минимальное информационное обеспечение и, в основном, позволяют достигнуть поставленных целей управления путем оптимизации их параметров при заданной структуре системы, которая директивно назначается проектировщиком на основании эвристических соображений и может существенно отличаться от структуры, определяемой строгим решением оптимизационной задачи. Таким образом, мы сталкиваемся с типичной задачей параметрической оптимизации системы.

Аналитические методы параметрической оптимизации регуляторов малоэффективны применительно к большинству задач синтеза систем управления движением МПО в связи с высокой размерностью математических моделей. Предпочтительнее использовать для этих целей поисковые алгоритмы численной оптимизации динамических систем. Основные их достоинства заключаются в универсальности и возможности практического решения задачи вне зависимости от вида математического описания системы и принятого критерия качества. В равной степени поисковые алгоритмы могут использоваться при линейных и нелинейных моделях неизменяемой части системы, при линейных или релейных регуляторах произвольной структуры, критериях качества любой формы. Это могут быть обычные дисперсионные или среднеквадратичные функционалы, а также время перехода системы из одного состояния в другое. Но поисковые алгоритмы численной оптимизации позволяют получить решение, когда используются математически более сложные критерии, например, средний по модулю

или минимаксный

и многие другие, отражающие те или иные специфические требования, предъявляемые к системам управления движением морских подвижных объектов.

Критерии качества обычно выражаются в виде функционалов, зависящих от переменных состояния и сигналов управления. Но поскольку эти функции времени изменяются в зависимости от параметров регуляторов заданной структуры, в конечном счете, критерии качества зависят от варьируемых параметров матрицы . В большинстве своем эти зависимости представляют собой непрерывные гладкие функции. В точках экстремума выполняется условие:

В области параметров критерий качества может иметь один (унимодальная функция) или несколько минимумов и максимумов. Наибольший из максимумов и наименьший из минимумов называют абсолютным или глобальным, все остальные локальными или относительными. Наличие локальных минимумов в значительной степени затрудняет решение задачи оптимизации, так как определив параметры в точке экстремума, нельзя быть уверенным, что найден абсолютный минимум.

Численная оптимизация динамических систем заключается в последовательном моделировании процесса в системе при различных параметрах регулятора, на основании которого выбирается наилучший вариант в смысле принятого критерия качества. Реализуется она в следующей вычислительной процедуре:

1. Осуществляется решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы управления МПО с неизменяемой частью произвольной математической формы

и регулятором произвольной структуры и при фиксированных значениях параметров моделируемый процесс может возбуждаться детерминированным или случайным внешним возмущением , но во всех экспериментах должен иметь одинаковую математическую модель воздействия, неизменные начальные условия и длительность расчета, соответствующую интервалу доверительности .

2. В ходе моделирования эталонного процесса рассчитывается принятый критерий качества, значения которого изменяются от опыта к опыту в зависимости от параметров регулятора.

3. На основе сопоставления величины критерия в двух последовательных экспериментах принимается решение о том, каковы должны быть значения параметров в последующем эксперименте .

4. Эксперименты повторяются до тех пор, пока не обнаружится минимальное значение критерия.

Процесс поисковой оптимизации может быть полностью или частично автоматизирован на основе использования вычислительных машин.

Алгоритмы поиска различаются между собой стратегией изменения параметров, причем, наиболее эффективными являются те из них, которые достигают результата при меньших затратах машинного времени.

Дадим краткую характеристику наиболее употребительных методов поиска экстремальных решений в области нескольких параметров (методы многомерного поиска).

Поиск путем перебора. Это наиболее простой метод, который заключается в том, что последовательно определяются значения критерия во всех узлах сетки, дискретизирующей пространство параметров . Интерполяция значений варьируемых параметров между узлами сетки делается в предположении, что функция непрерывная и гладкая. Получив информацию о виде критерия во всем диапазоне изменения параметров, можно выбрать экстремальную точку.

Практически поступают следующим образом (см. рис. 5.12 для случая двух варьируемых параметров). Рассчитывают и строят кривые зависимости критерия от одного из параметров при различных фиксированных значениях остальных, а затем в плоскости двух параметров получают линии равных значений критерия и определяют положение экстремальной точки.

Рис. 5.12. Поиск оптимальных параметров путем перебора

Кроме простоты, этот метод обладает тем достоинством, что позволяет получить полную информацию о возможностях регулятора принятой структуры во всем диапазоне изменения параметров. Однако недостатки его значительны: необходимость большого числа пробных решений, большой расход машинного времени и малая наглядность, когда число варьируемых параметров больше двух. Поэтому, применительно к исследованию систем управления МПО поиск путем перебора следует применять, в частности, при анализе влияния условий плавания с постоянными скоростями, когда варьируются два показателя: балльность и угол встречи корабля с волной.

Метод наискорейшего спуска. Этот метод представляет собой один из вариантов градиентных методов. Он основан на том, что экстремум критерия может быть быстрее всего достигнут, если двигаться по траектории, направление которой совпадает или противоположно градиенту функции . Так как

где - единичные векторы осей, по которым откладываются варьируемые параметры, то при таком поиске изменение параметров должно быть пропорционально соответствующим частным производным:

где - положительный коэффициент произвольной величины. Число шагов, необходимое для достижения экстремума непосредственно зависит от , и поэтому его следует выбирать возможно большим. Однако при слишком большом его значении решение на машине может стать неустойчивым, причем траектория будет совершать колебания вокруг точки экстремума, не достигая ее. Поэтому целесообразно уменьшить при приближении к точке экстремума.

Рис. 5.13. Поиск оптимальных параметров градиентным (1), релаксационным (3) методами и методом наискорейшего спуска (2).

Предположим, что в начале поиска параметры системы равны - значение критерия. Для определения направления движения делаются небольшие пробные шаги по каждому параметру: изменяют параметр на величину и определяют при этом изменение критерия . В результате в пространстве параметров определяют направление уменьшения (увеличения) критерия . Далее предполагается, что

и поэтому первый рабочий шаг делается в точку с параметрами

причем . Принятое направление изменения парамет ров сохраняется неизменным и при последующих шагах т. е.

если очередной шаг сопровождается уменьшением (увеличением) критерия. Изменение направления поиска происходит только тогда, когда достигнуто минимально (максимально) возможное на предыдущем направлении значение критерия. Выбор нового направления поиска осуществляется аналогично предыдущему с помощью пробных шагов.

При наискорейшем спуске выигрыш во времени поиска оптимальных параметров достигается за счет увеличения рабочего шага и исключения пробных шагов для определения частных производных в каждой точке траектории, хотя траектория спуска может оказаться длинее, чем при непрерывном спуске по градиенту.

Для иллюстрации метода на рис. 5.13 в плоскости двух параметров изображены линии равного критерия и траектории непрерывного градиента (1) и наискорейшего спуска (2).

Релаксационный метод. Метод заключается в поочередном изменении параметров. Сначала варьируется один параметр при фиксированных остальных и отыскивается частный экстремум по этому параметру, когда . Затем фиксируют параметр и варьируют для отыскания другого частного экстремума и т. д. После цикла поиска по всем параметрам вновь начинается вариация первого параметра и цикл повторяется. Поиск осуществляется до тех пор, пока все частные производные не окажутся близкими к нулю (меньше заранее принятой величины), после чего считается, что параметры оказались в области экстремальных значений. На рис. 5.13 изображена траектория поиска оптимальных значений двух параметров, построенная на основе релаксационного метода.

Релаксационный метод уступает по времени поиска методу наискорейшего спуска, однако реализация поиска оказывается более простой.

Метод случайного поиска. Поиск начинается с некоторого случайного сочетания параметров , для которых вычисляется критерий . Затем величина каждого параметра изменяется произвольно вокруг исходного значения. Всякий раз, когда величина критерия становится меньше (больше) предшествующей величины происходит переход от исходных значений параметров к тем их значениям, которые соответствуют . После этого параметры варьируются случайным образом вокруг новых величин.

При оптимизации динамических систем с малым числом варьируемых параметров метод случайного поиска уступает методу наискорейшего спуска и релаксационному методу, так как в последних измене ние параметров подчинено определенной логической последовательности, а метод случайного поиска основан на простом угадывании значений параметров. На каждый однократный процесс решения на ЭВМ, приводящий к уменьшению функции может приходиться по нескольку бесполезных шагов. Однако эффективность метода может быть высокой, если варьируется большое число параметров, и поиск осуществляется в диалоговом режиме, когда опыт и интуиция оператора позволяют свести к минимуму напрасный расход машинного времени.

Таблица 5.1

Пример 5.8. Неизменяемая часть системы управления МПО описывается линейными однородными дифференциальными уравнениями:

а закон управления

.

Начальные значения переменных: .

Методом дискретного наискорейшего спуска определим значения коэффициентов , при которых переходный процесс в системе протекает таким образом, что обеспечивается минимум функционала

где - некоторое фиксированное время (интервал доверительности), которое для рассматриваемого примера принято равным 6 с. Для произвольно выбранных коэффициентов определяем на ЭВМ значение функционала . Пробные вариации коэффициентов приводят к следующим значениям функционала: . Приближенные значения частных производных соответственно равны

Приняв определяем приращения коэффициентов на первом участке траектории спуска: и . После этого моделируется переходный процесс в системе и одновременно определяются значения функционала, которые приводятся в табл. 5.1.

Вернувшись к параметрам десятого шага, следует определить новые приращения коэффициентов , т. е. изменить направление спуска. Однако пробные шаги в окрестностях точки не выявили сколь-нибудь значительного изменения критерия, и поэтому эти параметры можно считать практически оптимальными.