5.4. Аналитическое конструирование на основе расчета устойчивых экстремалей

Метод аналитического конструирования, при котором используют уравнения оптимального движения системы, заключается в том, что с помощью основных и сопряженных уравнений линейной оптимальной системы (5.20) при произвольных начальных и нулевых конечных условиях определяют вектор состояния и сопряженный вектор. Последний позволяет найти оптимальное управление по формуле (5.19). Цель этого этапа расчета-получение экстремалей уравнений движения оптимальной системы, которые в соответствии с конечным условием обеспечивают устойчивость синтезируемой системы.

На следующем этапе аналитического конструирования определяют параметры регулятора состояния на основе соотношения .

После исключения времени оно позволяет рассчитать элементы матрицы .

Рассмотрим подробнее порядок расчета семейства устойчивых экстремалей. Было показано, что система однородных дифференциальных уравнений (5.20)

имеет четный характеристический полином (5,24)

корни которого располагают в левой и правой частях комплексной плоскости симметрично относительно мнимой оси. Поэтому общее решение исходных дифференциальных уравнений порядка содержит затухающие составляющие, соответствующие корням левой полуплоскости и незатухающие с корнями из правой полуплоскости . Если все эти корни разные, то выражения, описывающие оптимальное движение линейной системы без учета граничных условий, имеют вид (5.25)

Условие устойчивости синтезируемой системы и конечное нулевое значение векторов состояния и управления достигается только в том случае, если постоянные интегрирования составляющих с правыми корнями равны нулю: . Зависимые постоянные интегрирования составляющих с левыми корнями общее число которых можно выразить через независимые постоянные интегрирования с числом и, совпадающем с количеством произвольных начальных усл. овий вектора состояния . Эти соотношения для случая разных корней согласно теории дифференциальных уравнений имеют вид

где - алгебраическое дополнение произвольной -строки и -столбца характеристического определителя

вычисленные при значении корня . Следовательно, устойчивое оптимальное изменение компонент вектора состояния и сопряженного вектора находят по выражениям

которые образуют семейство устойчивых экстремалей, определенное с точностью до постоянных интегрирования, В дальнейшем будем рассматривать только устойчивые оптимальные системы, поэтому при обозначении корней знак будем опускать, принимая .

Теперь обратимся к расчету коэффициентов обратных связей. Исходное соотношение для определения элементов матрицы образуется на основе связи вектора управления с вектором состояния (5.29) и сопряженным вектором (5,19):

откуда:

Представим (5.33) в развернутом виде

После перемножения матриц имеем

Выражение (5.34) позволяет получить г независимых соотношений

Подставляя (5.32) в (5.35), получаем для одного произвольного -канала управления

Условие (5.36) следует выполнять для любого момента времени, поэтому коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степени в левой и правой частях (5.36) должны быть равны. После сокращения независимых постоянных интегрирования получаем

Выражение (5.37) представляет собой систему «линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестны коэффициентов обратных связей произвольного -канала управления . Если корни разные, то система уравнений (5.37) имеет ненулевой является невырожденной, совместной, с единственным решением. В (5.37) не входят постоянные интегрирования, поэтому коэффициенты обратных связей не зависят от начальных условий .

Варьируя в (5.37) , получаем полный набор независимых между собой систем алгебраических уравнений для нахождения элементов всех строк матрицы . Их решение определяет коэффициенты обратных связей, всех каналов управления автоматической системы.

Пример 5.3. Предположим, что неизменяемая часть синтезируемой системы имеет один канал управления и описывается дифференциальными уравнениями а минимизируемый функционал

Соответственно матрицы исходных параметров

Искомая матрица обратных связей .

Характеристический определитель

преобразуется в четный полином с корнями:

.

Требуемые для расчета алгебраические дополнения в полиноминальной форме

и при подстановке следующих корней:

После несложных преобразований, связанных с использованием выражения при комплексных коэффициентах, получаем систему алгебраических уравнений:

решение которой .

На рис. 5.4 приведена структурная схема системы с рассчитанными обратными связями.

Расчет коэффициентов обратных связей не вызывает существенных затруднений при ручном счете, если порядок исходных уравнений неизменяемой части системы не выше третьего. Для объектов более высокого порядка потребуется использовать ЦВМ, на которой последовательно реализуется следующая вычислительная процедура:

1) массив исходных данных, состоящий из матриц вводится в машину;

2) формируется характеристический определитель (5,24);

3) характеристический определитель преобразуется в полином;

4) рассчитываются корни характеристического полинома, и выделяются те из них, которые имеют отрицательную вещественную часть;

5) формируются алгебраические дополнения и определяются их значения при рассчитанных корнях характеристического полинома;

6) формируются системы алгебраических уравнений вида (5.37);

7) рассчитываются коэффициенты обратных связей (элементы матрицы ) путем решения систем уравнений (5.37).

Рис. 5.4. Структурная схема к примеру 5.3.

Достоинство этой вычислительной процедуры заключается в том, что в ней используют стандартные программы расчета корней полинома, решения систем линейных алгебраических уравнений, входящие в математическое обеспечение практически любой универсальной ЦВМ. Кроме того, в процессе решения определяют не только конечные результаты в виде матрицы коэффициентов обратных связей, но и целый ряд дополнительных полезных сведений о динамических свойствах синтезированной системы: характеристический полином, собственные частоты, экстремали устойчивого движения.

Однако этот метод аналитического конструирования имеет и недостатки. Определение корней характеристического полинома задача непростая даже для ЦВМ. С повышением порядка резко возрастает расход машинного времени и снижается точность расчета корней. С большим расходом машинного времени связано также определение алгебраических дополнений. При близких характеристических числах появляются плохо обусловленные матрицы систем алгебраических уравнений, что приводит к большим ошибкам определения коэффициентов обратных связей. Для организации замкнутого цикла решения на ЦВМ требуется достаточно сложная сервисная программа формирования различных математических соотношений, определяющая последовательность операций, ввод исходных данных, вывод проверочных и конечных результатов.

Разновидностью аналитического конструирования на основе устойчивых экстремалей является расчет коэффициентов регулятора состояния по заданным собственным частотам (корням характеристического уравнения) замкнутой системы управления, которые однозначно определяют вид и коэффициенты характеристического полинома. Собственные частоты могут быть вычислены как собственные числа матрицы согласно (5.24), и в этом случае они соответствуют корням характеристического уравнения оптимальной в смысле минимума дисперсионного критерия линейной системы. Но они могут быть директивно назначены проектировщиком, который таким образом заменяет задачу синтеза системы,

минимизирующей дисперсионный критерий качества, на задачу обеспечения заданных динамических свойств системы.

При математической модели неизменяемой части системы и регулятора состояния

уравнение замкнутой автономной системы , а характеристический определитель

раскладывается в полином, порядок которого совпадает с порядком исходных уравнений, и коэффициенты зависят от неизвестных элементов матрицы :

При заданных собственных частотах замкнутой системы коэффициенты этого полинома определяют однозначно:

Сопоставление (5.38) и (5.39) позволяет получить «условий для определения неизвестных параметров обратных связей:

Если представляет собой матрицу строку что имеет место при одном канале управления в системе, соотношение (5.40) преобразуется в линейные алгебраические уравнения, число которых совпадает с числом неизвестных параметров обратных связей. Эта система, как правило, является невырожденной даже при кратных характеристических числах, совместной, и имеет единственное решение, однозначно определяющее параметры обратных связей линейной системы.

Пример 5.4. Пользуясь исходными данными примера 5.3, определяем коэффициенты обратных связей не вычисляя алгебраических дополнений. Так как собственные частоты устойчивой оптимальной системы , то характеристический полином имеет вид

.

Так как

Таким образом, при скалярном управлении процедура определения матрицы обратных связей может быть упрощена за счет исключения из расчета алгебраических дополнений. Необходимые условия получаются, если выразить характеристический полином замкнутой системы сначала через известные собственные частоты, а затем через коэффициенты обратных связей.