3.5. Расчетные спектры морского волнения

При математической аппроксимации спектральных характеристик волнения исходят из двух моделей волнового процесса.

Первая, упрощенная модель получается в предположении двумерного волнения, при котором гребни волн имеют бесконечную длину и перемещаются в одном направлении, сохраняя параллельность. Более точной является модель трехмерного волнения, которое образуется суперпозицией большого числа двумерных волн с разным направлением распространения. Спектр двумерного волнения представляет собой функцию только одного аргумента - частоты . Спектр трехмерного волнения зависит как от частоты, так и от угла между главным направлением распространения волн и направлением, в котором определяется спектральная плотность. Между этими спектрами существует связь:

при соблюдении условия сохранения энергии

позволяющая свести расчеты систем управления движением МПО на трехмерном волнении к расчетам на двумерном волнении с использованием частотного энергетического спектра.

В настоящее время для математического описания спектра волнения предложено большое количество формул, в той или иной степени согласующихся с результатами натурных исследований. Они образуют группы экспоненциальных и дробно-рациональных спектров.

Общая форма экспоненциальных спектров

где А, В, , - параметры, из которых В определяются интенсивностью волнения, а , - особенностями волнообразования.

12-я Международная конференция опытовых бассейнов (МКОБ) в 1969 г. рекомендовала пользоваться типовыми спектрами волнения, полученными для конкретных мест и условий. При отсутствии информации о типовом спектре района было предложено пользоваться стандартным спектром, у которого .

В [4] приведена следующая интерпретация стандартного спектра МКОБ:

где - средняя частота волнения, - средний период волнения, - частота максимума спектра.

В зарубежной практике в качестве расчетного спектра получил распространение также спектр Неймана:

Рис. 3.13. Корреляционные функции нерегулярного морского волнения

Группу дробно-рациональных спектров и соответствующих им корреляционных функций образуют следующие выражения [16]:

Рис. 3.14. Расчетные спектры волнения

Вид дробно-рациональных спектров помимо дисперсии волновой ординаты определяется двумя параметрами: коэффициентом затухания и угловой частотой корреляционных функций. Для развитого морского волнения соблюдается соотношение . Поэтому корреляционные функции, определяемые выражениями (3.14) мало различаются (рис. 3.13) между собой .

Частоты максимумов всех спектров практически совпадают с так как от .

Практические расчеты показывают, что дробно-рациональные спектры смещены по отношению к экспоненциальным в область более низких частот. На рис. 3.14 приведены графики спектральных характеристик, рассчитанные на основании (3.10) (3.14) для волнения в 4 балла при исходных данных: . Частотные свойства морских подвижных объектов таковы, что полоса пропускания располагается именно в низкочастотной области. Поэтому применение расчетных спектров морского волнения в дробно-рациональной форме, являющихся в области низких частот менее точными, при анализе движения МПО приводит к завышенному уровню возмущающих воздействий.

Однако дробно-рациональные спектры имеют определенные преимущества, так как их моделирование осуществляется более простыми аппаратными или программными средствами.

В теории случайных процессов функции времени с переменными в зависимости от частоты спектральными характеристиками, к которым относятся расчетные спектры морского волнения, называют цветными шумами в отличие от случайной функции типа белый шум со спектральной характеристикой равномерно распределенной во воем диапазоне частот: , где - интенсивность белого шума. При случайный сигнал называют единичным белым шумом.

Рис. 3.15. Понятие формирующего фильтра

Его корреляционная функция равна импульсной функции .

При моделировании цветных шумов считают, что они являются результатом преобразования белого шума формирующим фильтром (рис. 3.15).

Передаточная функция или амплитудно-фазовая характеристика формирующего фильтра определяют спектр узкополосного случайного сигнала. Правила преобразования сигналов в линейных системах устанавливают эту связь в виде

Из (3.15) следует, что если спектральная характеристика случайной функции времени имеет дробно-рациональную форму, то передаточная функция формирующего фильтра также является дробно-рациональной, а сам формирующий фильтр представляет собой линейную систему с постоянными сосредоточенными параметрами. Так, чтобы промоделировать процесс со спектром (3,14), достаточно пропустить единичный белый шум через фильтр с передаточной функцией

Спектральная характеристика сигнала на выходе этого фильтра совпадает с квадратом его амплитудно-частотной характеристики . Нетрудно убедиться, что она совпадает с (3.14).

Использование экспоненциальных спектров приводит к нелинейным моделям волнения и усложнению задач анализа и синтеза автоматических систем управления МПО.

Приведенные соотношения позволяют по заданной балльности волнения однозначно определить его математическую модель, выраженную энергетическим спектром или передаточной функцией формирующего фильтра, со следующими основными параметрами:

- дисперсией волновой ординаты определяемой (3.9) по высоте волны 3% обеспеченности, взятой из табл. 2.1;

- частотой максимума спектра определяемой по графику приведенному на рис. 3.12.

Пример 3.2. Определить спектр волновой ординаты в форме (3.14) при состоянии моря 4 балла.

По табл. 3.1 находим высоту волны 3% обеспеченности . И по формуле (3.9) - дисперсию волновой ординаты . Согласно рис. 3.12 . При этих исходных данных спектр волновой ординаты

В практических расчетах используют не только характеристику волновой ординаты , но и спектр угла волнового склона .

Связь между ними можно установить на основе соотношения (3,5) между амплитудами элементарных гармоник, совокупность которых образует нерегулярное волнение. Учитывая, что энергетический спектр является квадратичным амплитудным спектром, получаем