1.5. Общая форма уравнений движения МПО

Поведение морского подвижного объекта рассматривается согласно законам механики движения твердого тела в трехмерном пространстве. Оно имеет шесть степеней свободы. Три из них характеризуют линейные перемещения центра масс и три вращение объекта относительно центра масс. Каждой степени свободы соответствует одна скоростная координата, в качестве которой выступает проекция вектора линейной или угловой скорости на соответствующую ось принятой координатной системы.

Мгновенные значения скоростей движения твердого тела подчиняются теоремам об изменении количества движения и момента количества движения.

Эти теоремы выражаются в виде векторных уравнений, которые в неподвижной системе координат имеют вид

где - главный вектор количества движения МПО; - главный вектор момента количества движения относительно начала координатной системы, - главный вектор внешних сил, действующих на МПО; - главный момент внешних сил относительно начала координат.

Однако уравнения движения МПО записывают обычно в системе координат, жестко связанной с корпусом. Это объясняется тем, что силы и моменты взаимодействия корпуса МПО с окружающей средой, а также силы и моменты внешних воздействий наиболее просто выражаются в связанной системе координат. Так как точка О - начало связанной системы координат движется с некоторой линейной скоростью и МПО поворачивается вокруг начала координат с угловой скоростью в уравнениях об изменении количества движения и момента количества движения, записанных в подвижной координатной системе, появляются в виде дополнительных слагаемых векторные произведения:

Два векторных уравнения (1.20) соответствуют шести скалярным дифференциальным уравнениям, записанным относительно проекций на связанные оси. Так как

а векторные произведения выражаются через определители с последующим их разложением по элементам первой строки

Согласно законам механики существует связь между кинетической энергией движущегося тела Т, проекциями скоростей и векторов и :

Выражения (1.22) позволяют получить в явной форме зависимости проекций векторов количества и момента количества движения от составляющих угловой и линейной скоростей, так как именно ими определяется величина кинетической энергии МПО.

Морские подвижные объекты отличаются тем, что в процесс собственного движения они вовлекают прилегающие к ним слои окружающей среды (жидкость, воздух). Частицы воды, находящиеся вблизи корпуса движущегося корабля, из-за вязкости жидкости начинают перемещаться, приобретая определенную кинетическую энергию за счет работы главной энергетической установки судна. МПО и окружающая его среда образуют взаимосвязанную целостную в энергетическом отношении систему. Поэтому для расчета параметров движения объекта следует исходить из анализа суммарной кинетической энергии, включающей в себя, наряду с энергией самого твердого тела, присоединенную кинетическую энергию

окружающей среды: . При определении величины кинетической энергии МПО считают постоянными его массу, форму корпуса и распределение масс внутри корпуса. При этих условиях

где - масса МПО; -, линейные координаты центра масс в связанной с МПО координатной системе; - моменты инерции относительно связанных осей; - центробежные моменты инерции.

Выражение (1.23) можно представить в матричной форме

где - матрицы линейной и угловой скоростей МПО, если ввести понятие матрицы инерции твердого тела

Так как начало связанной координатной системы совмещено с центром масс корабля, то . Кроме того, когда координатные оси являются главными центральными осями инерции, . При этих допущениях матрица преобразуется в диагональную, а выражение (1.23) существенно упрощается:

Для определения кинетической энергии жидкости выделим в ней элементарный объем положение которого в связанной системе координат задается радиусом-вектором (рис. 1.8). Если вектор

линейной скорости данного элементарного объема, то его кинетическая энергия

где - массовая плотность жидкости постоянная во всем объеме.

Полная кинетическая энергия жидкости

Рис. 1.8. К определению кинетической энергии среды

Объем идеальной жидкости ограничен поверхностью корпуса МПО и сферой бесконечно большого радиуса, на границе которой сохраняется невозмущенное состояние жидкости.

В литературе, например, [12] показано, что интеграл (1.26) раскрывается в виде, подобном где - матрица присоединенных масс и моментов инерции МПО.

Элементы квадратной матрицы размером характеризуют количество движения и момент количества движения жидкости при перемещении в ней корпуса МПО и позволяют выразить проекции векторов количества движения и момента количества движения жидкости через составляющие скорости поступательного и вращательного движений МПО. Значения зависят от линейных размеров, формы корпуса МПО и выбора системы координат. Величины с разными индексами могут иметь различные размерности в зависимости от того, какой частный вид движения МПО сообщает жидкости кинетическую энергию. Если это достигается только за счет составляющих линейной скорости, то кинетическая энергия жидкости характеризуется присоединенными массами. Энергия, обусловленная вращательным движением МПО, определяется присоединенными моментами инерции.

В случае сочетания поступательного и вращательного движений МПО для вычисления кинетической энергии жидкости необходимо дополнительно ввести понятие присоединенных статических моментов. Оказывается, что при к называются присоединенными массами с размерностью массы, при к являются присоединенными моментами инерции с размерностью момента инерции, при и к имеют размерность статического момента и определяются как статические моменты. Матрица обладает свойством симметрии [12]:

В связи с тем, что сам корпус МПО обладает определенной симметрией, ряд элементов матрицы обращается в ноль. Так симметрия корпуса относительно диаметральной плоскости делает малозначимыми. Если плоскостью симметрии является плоскость палубы нулевые значения принимают

. При симметрии МПО относительно продольной оси значимыми остаются лишь диагональные элементы а также два вне диагональных элемента и . И, наконец, когда МПО рассматривают как эллипсоид вращения, матрицу считают диагональной.

В приближенных инженерных расчетах по динамике движения МПО, при анализе и синтезе систем управления движением можно исходить из максимально упрощающих предположений. Справочники, например [14], рекомендуют считать матрицу присоединенной жидкости диагональной, а элементы рассчитывать по формулам:

- присоединенные массы

- присоединенные моменты инерции

где - массовая плотность жидкости (или в общем случае окружающей среды) объемное водоизмещение корабля; - безразмерные коэффициенты, которые зависят от соотношения геометрических размеров корабля и изменяются в пределах , а остальные от 0 до 1,0.

Применяя (1.28), можно использовать то, что масса вытесненной жидкости в стационарных условиях движения совпадает с массой самого водоизмещающего судна:

Присоединенные массы и моменты инерции оказывают заметное влияние на динамику только тех морских подвижных объектов, корпус которых в основном находится в воде. К ним относятся надводные водоизмещающие суда, подводные корабли и аппараты. Корпуса кораблей с динамическими принципами поддержания (корабли на подводных крыльях, воздушной подушке, экранопланы) движутся над водой. А так как плотность воздуха почти в раз меньше плотности воды ( - плотность воздуха при температуре и нормальном атмосферном давлении плотность морской воды при ), то для них эффектом вовлечения слоев окружающего воздуха в процесс движения объекта можно пренебречь.

Итак, суммарная кинетическая энергия МПО, движущегося в жидкости с учетом (1.24) и (1.27), определяется выражением

При всех оговоренных допущениях, а именно:

- линейная и угловая скорости движения определяются в связанной координатной системе, начало которой совмещено с полюсом объекта;

- корпус корабля принимается подобным эллипсоиду вращения, суммарная матрица инерции является диагональной, а ее элементы с учетом (1.28) (1.30) имеют вид

кинетическая энергия

С помощью выражения (1.33) определяют проекции векторов количества движения и момента количества движения в соответствии с формулами (1.22)

С учетом (1.34) уравнения динамики движения МПО (1.21) могут быть записаны только через составляющие линейной и угловой скоростей вращения. Так как согласно (1.32)

то общая форма уравнений динамики МПО приобретает вид

Выражения (1.35) требуют дальнейшей конкретизации раскрытия зависимостей внешних сил и моментов в правых частях уравнений

от параметров движения, состояния средств управления и ветро-волновых возмущений применительно к определенным типам МПО.

Все внешние силы и моменты могут быть разбиты на пять основных категорий:

1) аэродинамические силы и моменты на корпусе;

2) гидродинамические силы и моменты на корпусе;

3) силы веса и водоизмещения;

4) управляющие силы и моменты, создаваемые движителями и другими средствами управления корабля;

5) силы и моменты, обусловленные ветро-волновыми возмущениями, которые появляются в результате воздействия течений, морского волнения и ветра.