5.6. Оптимизация линейной системы, подверженной узкополосному возмущению

Регулятор состояния оптимизирует движение линейной системы, которая находится под воздействием широкополосного возмущения, аппроксимируемого белым шумом. Математическая форма эквивалентной детерминированной задачи, вид семейства устойчивых экстремалей, результаты аналитического конструирования наглядно показывают, что при этих исходных данных оптимизируются динамические свойства линейной системы, но не учитываются какие-либо индивидуальные свойства внешнего возмущения. Происходит это потому, что белый шум не имеет определенных отличительных признаков и представляет собой возмущение . Следствием неопределенности внешнего воздействия явилось отсутствие в регуляторе состояния связей, использующих или формирующих информацию о возмущениях.

Иной результат получается, если оптимизировать движение линейной системы, подверженной узкополосному случайному возмущению. Точная настройка системы на форму спектральных характеристик возмущения потребует включения в регулятор состояния дополнительных связей, с помощью которых вводится информация о внешних воздействиях.

Задача синтеза оптимальной автоматической системы, подверженной действию случайного стационарного возмущения с ограниченным по частоте энергетическим спектром, эквивалентна детерминированной задаче оптимизации полной реакции системы на эквивалентное детерминированное воздействие при нулевых начальных условиях .

В соответствии с этим математическая модель неизменяемой части системы, используемая при решении оптимизационной задачи, определяется матричным уравнением

а минимизируемым критерием по-прежнему остается среднеквадратичный функционал (5.18).

Особенность функции Гамильтона заключается в том, что она содержит дополнительное слагаемое, являющееся функцией времени:

.

По-прежнему, согласно принципу максимума, оптимальное движение системы обеспечивается управлением , которое в любой момент времени максимизирует величину . Но в данном случае это движение происходит не только в. результате управляющих воздействий, но и под влиянием эквивалентных детерминированных возмущений . Поэтому, хотя и остается справедливым условие оптимального управления (5.19)

но семейство экстремалей определяется решением неоднородной системы основных и сопряженных уравнений

Система (5.51) содержит скалярных уравнений I порядка и для ее решения требуется знать начальных или граничных условий. Нулевые начальные условия вытекающие из эквивалентной детерминированной задачи, определяют из них. Кроме того, требование устойчивости синтезируемой системы в сочетании с затухающим характером эквивалентных детерминированных возмущений, свойственных согласно (5.13) узкополосным случайным воздействиям, определяет нулевые конечные условия для переменных состояния системы число которых тоже равно . Для каждой компоненты вектора состояния и сопряженного вектора решение (5.51) состоит из общего решения системы однородных дифференциальных уравнений и частного решения системы неоднородных уравнений. Первое определяет свободное движение системы второе вынужденное , несвободные составляющие семейства устойчивых экстремалей имеют вид (5.32) с точностью до независимых постоянных интегрирования. Вид вынужденных составляющих экстремалей определяется законом изменения компонент матрицы возмущения . При дробно-рациональной форме спектральных плотностей случайных возмущений эквивалентные детерминированные воздействия имеют вид затухающих экспоненциальных функций времени с комплексными коэффициентами (5.13). Использовав принцип наложения и метод комплексных амплитуд, хорошо известный в теории электрических цепей можно найти вынужденные составляющие в форме

где - комплексные частоты эквивалентного детерминированного возмущения, соответствующие полюсам формирующего фильтра; - комплексные амплитуды частных решений системы уравнений (5.51).

Следует иметь в виду, что комплексные частоты и комплексные амплитуды либо вещественны, либо попарно сопряжены, так что вынужденные составляющие экстремалей всегда вещественны.

Общий вид семейства устойчивых экстремалей

Можно показать, что регулятор состояния вида не может обеспечить изменение переменных согласно экстремалям (5.53). Действительно, при оптимизации свободного движения, когда вынужденные составляющие в экстремалях отсутствуют, общее число обратных связей автоматической системы по каждому каналу управления равно порядку исходных уравнений неизменяемой части системы (5,50). Системы алгебраических уравнений для определения коэффициентов обратных связей оказывались совместными и имели единственное решение благодаря тому, что число неизвестных коэффициентов обратных связей было равно количеству экспоненциальных функций времени в составе экстремалей (5.32).

При наличии в исходной модели (5,50) эквивалентного детерминированного возмущения количество экспоненциальных функций в составе экстремалей (5.53) превосходит на число координат состояния системы. Поэтому, чтобы системы уравнений для определения коэффициентов в линейных законах управления и были совместными и имели единственное решение, необходимо расширить регулятор состояния введением дополнительных слагаемых. С их помощью в регуляторе системы формируется информация о внешнем возмущении, его специфических свойствах и особенностях, осуществляется оптимизация системы применительно к конкретному типу воздействия, характеризуемого определенным видом спектральной характеристики. Поэтому к дополнительным членам закона управления предъявляется необходимое условие содержать информацию о внешнем возмущении. Для этой цели используют идентификаторы внешних воздействий либо дифференцирующие обратные связи по переменным состояния. Регуляторы состояния с дифференцирующими связями рассмотрим подробнее, причем для простоты рассуждений будем считать возмущение скалярным . Общее число дифференцирующих связей, дополняющих регулятор состояния должно равняться числу экспоненциальных функций т, образующих вынужденные составляющие семейства устойчивых экстремалей (5,53). Чтобы эти связи содержали необходимую информацию о внешнем воздействии, они должны удовлетворять ряду условий.

Во-первых, дополнительная дифференцирующая обратная связь выбирается по той переменной уравнение которой в исходной модели содержит эквивалентное детерминированное возмущение в явной форме . Предположим, что в закон управления для канала

вводится дополнительная составляющая причем в составе системы уравнений (5.50) имеется такое

Введение дополнительной дифференцирующей связи обеспечивает информацию о компоненте возмущения . Это видно, если записать закон управления с учетом таким образом

Если ввести еще одну дифференцирующую связь порядка I, то функциональная структура алгоритма (5.55) не изменится, так как в составе исходной системы (5,50) могут присутствовать уравнения только с возмущением

поэтому

Связи и оказываются взаимозависимыми в силу математической модели неизменяемой части системы.

Если же в регулятор состояния дополнительно ввести сигнал , то в закон управления вводится дополнительно информация о скорости изменения возмущения

Следовательно, при общем числе необходимых дополнительных связей, равном закон управления оптимальной системы должен формироваться на основе регулятора состояния и -кратного дифференцирования одной из переменных состояния

Он обеспечивает введение информации о возмущении и его производных до порядка включительно.

Второе требование к дополнительным дифференцирующим обратным связям сводится к тому, что допустимая кратность дифференцирования фазовой координаты ограничена структурой исходной математической модели (5,50). Если после исключения из закона управления дифференцирующих составляющих в силу (5.50) в правой части закона появляются сигналы управления и их производные, то такой алгоритм управления либо не может быть сформирован, либо может привести к нарушению устойчивости в замкнутой системе.

Возможность появления сигналов управления и их производных в правых частях закона управления легко показать, если, например, в системе (5.50) есть уравнение

а управление формируется в виде

В зависимости от кратности дифференцирования в законе управления могут появляться члены

Это приводит к тому, что порядок дифференциальных уравнений (5.50) совместно с (5.57), определяющих процессы в замкнутой автоматической системе, окажется выше, чем число экспонент в свободных составляющих экстремалей (5.53). Следовательно, алгоритм (5.57) в этих условиях не может быть сформирован. При появлении члена порядок уравнений замкнутой системы совпадает с порядком составляющих экстремалей. Но при этом в системе в неявном виде появляется замкнутый безынерционный контур, охватывающий элемент, который формирует сигнал управления. Если , то наличие этого контура в силу положительной обратной связи может быть причиной неустойчивости замкнутой системы.

Существует третье условие, которое ограничивает кратность дифференцирования фазовой координаты, но уже не по форме математической модели объекта, а по виду возмущения. Отмечалось, что при структуре обратных связей (5,57) в алгоритм управления неявно входят возмущение и его производные. При форме эквивалентных детерминированных возмущений (5,13) не исключена возможность появления разрывов рода для одного из этих сигналов в начальный момент времени. Последующее дифференцирование разрывного сигнала (возмущение или его производные) при введении в закон управления приведет к появлению бесконечных управляющих сигналов, которые не соответствуют экстремалям (5.53). Физически это означает, что многократное дифференцирование случайного возмущения при формировании управляющего

сигнала приводит к такому росту высокочастотных составляющих спектра, что сигнал управления приобретает черты белого шума, его дисперсия оказывается бесконечно большой и дисперсионный критерий обращается в бесконечность.

В соответствии со сказанным третье условие, которому должны удовлетворять дифференцирующие обратные связи, можно сформулировать следующим образом: -кратное дифференцирование фазовой координаты допустимо только в том случае, если эквивалентные детерминированные возмущения и их производные порядка непрерывны во всем диапазоне изменения аргумента .

Сформулированные выше три условия регламентируют возможные структуры дифференцирующих обратных связей и являются условиями физической реализуемости дифференцирующих операторов.

Выбрав вид дифференцирующего оператора и убедившись, что он удовлетворяет условиям физической реализуемости, можно рассчитать коэффициенты обратных связей. Покажем, как это выполняется при операторе (5.57). Для этого представим его с учетом условия оптимального управления в виде

Подставим (5.53) в (5.58) и получим условий :

Учитывая, что , должно выполняться в любой момент времени, можно составить систему из алгебраических уравнений с таким же числом неизвестных коэффициентов обратных связей, приравняв амплитуды экспонент с одинаковыми показателями степени в левой и правой частях (5.59) Первые уравнений имеют вид

а остальные уравнений можно выбрать из условий

которых хотя и , но независимых только , так как комплексные частоты и комплексные амплитуды либо вещественны, либо попарно сопряжены, - символы вещественной и мнимой частей функции.

Итак, при оптимизации движения системы стабилизации, подверженной внешним возмущениям с ограниченным энергетическим спектром, набор обратных связей в каждом канале управления включает в себя как основные обратные связи по всем координатам состояния, так и дополнительные дифференцирующие связи.

Вычислительная процедура определения коэффициентов основных и дополнительных обратных связей в значительной степени повторяет процедуру аналитического конструирования на основе расчета устойчивых экстремалей. Дополнительно возникает необходимость вычисления комплексных амплитуд вынужденных составляющих экстремалей ивы- бора структуры дифференцирующих связей, удовлетворяющих условиям физической реализуемости.

Исследования оптимальных автоматических систем стабилизации движения, настроенных на определенный вид возмущения, показывают, что они характеризуются меньшими значениями дисперсий ошибок фазовых координат морских подвижных объектов. По сравнению с системами, имеющими регуляторы состояния только с основными обратными связями, системы этого типа позволяют повысить точность стабилизации при сохранении неизменными частот свободных колебаний. Поэтому такие системы могут удовлетворительно работать как при компенсации постоянно действующих возмущений (ветер, волна), так и при одиночных импульсных воздействиях.

Но точность стабилизации повышается только при строгом математическом соответствии статистических характеристик реальных внешних возмущений с расчетными, чего практически добиться очень трудно. Кроме того, точность стабилизации растет за счет резкой интенсификации работы исполнительных органов (увеличение числа и амплитуды кладок) причем повышенный износ механизмов рулей сохраняется и в том случае, когда из-за несовпадения расчетного возмущения с реальным выигрыш в точности стабилизации невелик.

Другой недостаток операторов с дифференцирующими обратными связями заключается в том, что далеко не всегда можно выбрать дополнительные связи, удовлетворяющие трем условиям физической реализуемости. Кроме того, возникают и чисто технические трудности многократного дифференцирования сигнала. В связи с этим ряд авторов при оптимизации линейных систем, настраиваемых на определенный вид узкополосного случайного возмущения, обосновывают предпочтительное использование идентификаторов внешнего воздействия, построенных по принципу редуцированных наблюдателей или наблюдателей полного порядка.