5.10. Расчет математических ожиданий и дисперсий переменных состояний систем управления движением

Необходимым этапом расчетных исследований, связанных с проектированием автоматических систем управления МПО является анализ синтезированных регуляторов. Цель его заключается в определении основных характеристик замкнутой системы в переходных и установившихся режимах движения МПО. Полученные результаты сопоставляются с требованиями технического задания, на основании чего делается вывод о применимости системы рассчитанной структуры.

Потребность в поверочных расчетах связана с тем, что синтез оптимальных регуляторов осуществляется по косвенному показателю -средневзвешенному дисперсионному критерию, который не учитывает все разнородные требования, предъявляемые к проектируемой системе, а выделяет в обобщенной форме только основные, определяющие факторы. Кроме того, критерий сам содержит элемент неопределенности в виде весовых матриц, выбор которых в определенной степени носит субъективный характер. Расчет переменных состояния системы, управляющих воздействий и сигналов управления во всем многообразии статических и динамических режимов предназначен для объективной оценки результатов синтеза. При неблагоприятных результатах анализа необходимо изменить критерий качества и повторить цикл синтез—анализ. Такой итерационный процесс может продолжаться до тех пор, пока не будут получены результаты, удовлетворяющие требованиям технического задания.

Для анализа АСУД МПО используется все многообразие методов теории управления, подробно описанных в литературе (например, [5,6, 15, 16]). Динамические свойства системы во временной области определяются переходными или импульсными характеристиками, а в частотной — передаточными функциями и амплитудно-фазовыми характеристиками. При расчете динамических характеристик АСУД наряду с аналитическими методами широко используется моделирование на вычислительных машинах, применение которых наиболее эффективно при исследовании нелинейных явлений в системе, связанных с ограничением величины управляющих воздействий, конечной мощностью приводов исполнительных механизмов, наличием люфтов в передачах, изменением параметров управляемого объекта и т. п.

Анализ стационарных режимов работы АСУД МПО требует вычисления статистических характеристик. Установившееся движение МПО в заданном балансировочном режиме сопровождается случайными отклонениями кинематических параметров под влиянием внешних ветро-волновых возмущений. Система управления обеспечивает стабилизацию объекта и ограничение отклонений переменных состояния.

Для режима стабилизации процессы в АСУД описываются линейной моделью, которая включает в себя уравнения неизменяемой части системы

и регулятора

а в некоторых случаях дополняется уравнением идентификатора состояния.

Переменные состояния управления и возмущения в (5.75 и (5.76) представляют собой векторы, компоненты которых в установившемся режиме движения МПО являются случайными стационарными функциями времени. Возмущающие силы и моменты содержат постоянные составляющие, которые появляются в результате течения, ветра и волнения, а также переменные, связанные с волновым процессом. Поэтому вектор возмущения можно представить в виде наложения двух составляющих:

первая из которых является вектором математических ожиданий, а вторая вектором центрированных переменных случайных функций. Аналогичный вид имеет и вектор переменных состояния

.

Вектор математических ожиданий переменных состояния

определяет постоянные ошибки стабилизации МПО в заданном балансировочном режиме. Средние значения переменных ошибок оцениваются дисперсиями центрированных функций вектора состояния или их среднеквадратичными значениями. Расчет дисперсий требует знания элементов матрицы корреляционных функций или матрицы спектральных плотностей .

Матрица корреляционных функций -мерного вектора представляет собой квадратную матрицу вида

Ее диагональные элементы называются автокорреляционными функциями. Их начальные значения совпадают с величинами дисперсий соответствующих переменных . Внедиагональные элементы являются взаимными корреляционными функциями и удовлетворяют условию .

Элементы матрицы спектральных плотностей

связаны с соответствующими корреляционными функциями преобразованием Фурье. Дисперсия переменной определяется интегрированием в бесконечных пределах соответствующего диагонального элемента собственной спектральной плотности.

Расчет математических ожиданий и дисперсий переменных состояния АСУД МПО выполняется в соответствии с правилами преобразования случайного стационарного сигнала в линейной системе с постоянными сосредоточенными параметрами [2, 5].

При этом используется математическое описание линейной системы в виде (5.75) и (5.76) или преобразованное к одному матричному уравнению

Входным сигналом для линейной системы служит вектор возмущения , а выходным вектор состояния . Их изображения, полученные путем преобразования Лапласа, связаны между собой матрицей передаточных функций

которая определяется непосредственно из (5.78) по правилам операционного исчисления

Принцип наложения, применимый для линейных систем позволяет разделить вычисление математических ожиданий и дисперсий.

Так как в установившемся режиме и , то из (5.78) следует , что можно представить также в виде

При расчете дисперсий используют различные подходы. Первый из них основан на формуле (5.77) и требует определения собственных спектральных плотностей выходных сигналов системы. При скалярном входном сигнале со спектральной плотностью они определяются выражением

где - соответствующая амплитудно-фазовая характеристика системы.

Если спектральная плотность входного сигнала представляет собой дробно-рациональную функцию частоты, то спектральная плотность выходного сигнала образуется отношением четных полиномов, в (5.77) представляет собой стандартный интеграл вида

причем, все корни полинома после замены должны располагаться в левой полуплоскости комплексной частоты.

Значение стандартного интеграла (5.82) вычисляется по формуле (см. например, )

где - определитель Гурвица для полинома . Например, при он равен

Определитель в (5.83) образуется из определителя заменой первого столбца коэффициентами . При имеем

Пример 5.9. Случайный стационарный центрированный сигнал со спектральной плотностью поступает на вход линейного устойчивого звена первого порядка с передаточной функцией . Определить дисперсию выходного сигнала в установившемся режиме.

Спектральная плотность сигнала на выходе системы согласно (5.81) имеет дробно-рациональную форму

поэтому его дисперсию можно представить в виде стандартного интеграла (5.82), полиномы которого

Определители 2-го порядка формуле (2.83)

.

Согласно (2.83) дисперсия выходного сигнала

Другой способ расчета дисперсий предполагает определение начальной корреляционной матрицы переменных состояния , которую называют также матрицей дисперсий. Известно (см. например ), что если линейная система, определенная матричным уравнением

возбуждается вектором единичного белого шума , то матрица является решением алгебраического уравнения Ляпунова

Чтобы использовать (5.85) при возмущении тийа цветной шум, необходимо расширить модель реальной линейной системы за счет дифференциального уравнения формирующего фильтра с матрицами параметров . Тогда вектор в (5.84) должен включать в себя переменные состояния не только АСУД, но и фильтра, а матрицы параметров в (5.85) определяются выражениями:

Первые диагональных элементов в решении уравнения (5.85) определят искомые дисперсии переменных состояния АСУД МПО.

Пример 5.10. По исходным данным примера 5.9 расчитаем дисперсию выходного сигнала с помощью уравнения Ляпунова.

Для этого по известной передаточной функции запишем дифференциальное уравнение звена первого порядка

а по спектральной плотности входного сигнала - уравнение формирующего фильтра .

Следовательно, для данного примера уравнение (5.84) имеет вид

где - скалярный единичный белый шум, а уравнение (5.85) после подстановки соответствующих матриц

и их перемножения

позволяют сформировать систему скалярных алгебраических уравнений

решение которой

повторяет результат, полученный в примере 5.9.

Расчет дисперсии через матрицу начальных значений корреляционных функций является более общим. Он позволяет выполнять вычисления при векторном внешнем воздействии легко использовать вычислительные машины при анализе сложных систем, сложных систем.