7.3. Статические и динамические модели буксируемых сейсмографных кабелей

Положение сейсмографного кабеля относительно судна и заданного профиля в основном зависит от скорости буксировки, распределения течений вдоль кабеля и параметров конструкции (диаметр и длина, плавучесть и вес грузовых секций и межсекционных соединений). При эксплуатации необходимо буксировать его в горизонтальной плоскости на заданной глубине. В этих условиях углы встречи рабочих секций кабеля с потоком жидкости как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях, малы, а меридианальные углы в близки к . Чтобы применить правила приближенного вычисления тригонометрических функций при малых углах в расчетах удобно использовать углы, дополнительные к меридианальным . Тогда из (7.4) следует такая форма уравнений связи

а дифференциальные уравнения для расчета пространственных конфигураций сейсмографных кабелей приобретают вид

где обозначено .

Решение уравнений (7.27) совместно с (7.26) позволяет рассчитать значения координат всех точек кабеля натяжение и углы и по его длине.

Некоторые результаты таких расчетов приведены на рис. 7.6-7.8.

Рис. 7.6. Статические конфигурации сейсмографного кабеля в горизонтальной плоскости при линейно изменяющемся боковом гечении.

На рис. 7.6, б показано положение кабеля в горизонтальной плоскости при поперечном к заданному профилю течении характер которого указан на рис. 7.6, а. Рис. 7.7 показывает конфигурацию начального (вблизи точки крепления к судну) участка кабеля в вертикальной плоскости, а рис. 7.8 - конфигурации кабеля в горизонтальной плоскости

Рис. 7.7. Статическая конфигурация начального участка сейсмографного кабеля в вертикальной плоскости.

Рис. 7.8. Статические конфигурации сейсмографного кабеля в горизонтальной плоскости при скачкообразном изменении течения.

при скачкообразном изменении бокового течения от 0 до 0,375 м/с на расстояниях 500 м (кривая 7) и 2000 м (кривая 2) от точки его крепления к судну. Приведенные результаты показывают, что движение сейсмографных кабелей при буксировке судном происходит практически только в горизонтальной плоскости. Это позволяет при анализе динамики таких объектов перейти от математической модели пространственного движения к исследованию уравнений движения в боковой плоскости.

Из (7.26) вытекают дифференциальные уравнения связи, а уравнения динамики получаются из условия равновесия сил по поперечной оси элемента кабеля

При этом учитывалось, что касательная составляющая гидродинамической скорости точки кабеля при буксировке его в горизонтальной плоскости определяется гидродинамической скоростью судна

Начальные услввия к системе (7.28) получаются из исходной пространственной конфигурации кабеля , а граничные задаются кинематическими параметрами судна-буксира

.

Управляющим воздействием, прикладываемым к сейсмографному кабелю при стабилизации его на заданном профиле, является боковая скорость судна . Чтобы перевести управляющее воздействие из граничных условий в уравнение, введем новые кинематические параметры и скорость и координату бокового перемещения произвольной точки кабеля относительно судна, что позволяет представить скорость и координату бокового перемещения элементов кабеля в неподвижной системе координат в виде двух слагаемых:

Это позволяет представить уравнения динамики сейсмографного кабеля таким образом:

где - компоненты вектора состояния кабеля; - управляющее и возмущающее воздействия, а начальные и граничные условия задаются в виде .

Рис. 7.9. Представление сейсмограф ного кабеля конечным числом элементов.

Решение уравнений (7.29) может быть выполнено, в частности, методом конечных элементов, который основан на дискретизации пространственного аргумента. При этом сейсмографный кабель представляется в виде кусочно-линейных элементов, а его состояние определяется в общих точках этих элементов (рис. 7.9). Такой подход позволяет перейти от дифференциальных уравнений в частных производных с тремя переменными состояния к обыкновенным дифференциальным уравнениям, вектор состояния которых содержит переменных. Такими переменными являются азимутальные углы элементов , боковая скорость и боковое перемещение каждого узла. Все силы, действующие на элементе кабеля, считаются приложенными в его начальном узле. Под их воздействием происходит перемещение конечного узла. При этом граничные условия автоматически включаются в дифференциальные уравнения начального и конечного узлов кабеля.