5.8. Оптимальные релейные системы

Оптимизация движения линейного объекта обеспечивается регулятором состояния в том случае, если критерий качества заключается в минимизации дисперсионного (среднеквадратичного) функционала, учитывающего затраты на управление. При другой форме критерия строгое решение оптимизационной задачи даже при линейной модели неизменяемой части системы приводит к нелинейным регуляторам.

В некоторых задачах управления МПО качество работы системы оценивается по времени перехода из одного состояния в другое . Система максимального быстродействия характеризуется минимальным значением

Для удобства применения принципа максимума этот критерий может быть представлен в интегральной форме:

При линейной модели неизменяемой части системы

и критерии (5.69) функция Гамильтона

линейно зависит от управления и и при отсутствии ограничения на его величину не имеет конечного значения максимума. Смысл этого очевиден: чем больше величина управления, тем меньше времени требуется на переход системы из одного состояния в другое, и минимальное время достигается при бесконечно большом управлении. Задача оптимального управления может иметь смысл только в том случае, если управление ограничено по модулю: , например, . При этом максимум функции Гамильтона, т. е. оптимальное управление, достигается, когда все сигналы управления имеют предельные значения

а их знаки таковы, что

Тогда условие оптимального управления:

или в матричнои форме:

Рис. 5.10. Сигналы управления в релейной системе.

Рис. 5.11. Структура системы максимального быстродействия.

Выражение (5.71) показывает, что система управления линейным объектом, обеспечивающая максимальное быстродействие, содержит релейный регулятор. Управление обеспечивается изменением состояния релейных элементов (рис. 5.10) в моменты переключения и т. д. которые зависят от вида вспомогательного вектора определяемого сопряженной системой уравнений. На основании правила формирования (5.16) при (5.71) она имеет вид:

и для ее решения необходимо знать начальные значения . Система может быть реализована в варианте программного управления (рис. 5.11, а) или с обратными связями (рис. 5.11, б), если найти нелинейную функциональную связь между и при оптимальном управлении. Чтобы найти эту связь надо решить нелинейное дифференциальное уравнение:

Расчет обеих структур связан с большими вычислительными трудностями, быстро возрастающими по мере увеличения порядка объекта. Источники этих трудностей заключаются в необходимости расчета начальных значений сопряженного вектора по известным конечным значениям вектора состояния решения уравнения (5.72), а также в чрезвычайно сложной процедуре формирования функциональной связи между векторами состояния и управления. Практически удается получить решение только при математической модели неизменяемой части системы, выраженной дифференциальными уравнениями -го порядка.

К релейной системе управления приводит решение оптимизационной задачи и в том случае, когда среднеквадратичный критерий качества не учитывает затраты на управление

При линейной неизменяемой части системы с учетом (5.73) гамильтониан имеет вид:

Так же, как и (5.70), функция Гамильтона (5.74) линейно зависит от управления. Поэтому по аналогии с системой максимального быстродействия при наличии ограничений на сигналы управления система оптимальная по критерию (5.73) должна быть релейного типа с алгоритмом (5.71) и структурой, изображенной на рис. 5.11. Но в отличие от системы максимального быстродействия эта система рассчитывается на основе связанных между собой основных и сопряженных уравнений:

.

Это существенно усложняет и без того трудоемкий процесс расчета программного управления или нелинейных обратных связей.