7.2. Общая форма уравнений динамики и статических пространственных конфигураций гибких протяженных буксируемых объектов

Режимы движения протяженных буксируемых объектов в водной среде, включающие переходные процессы и статические пространственные конфигурации, могут быть исследованы на основе известных методов решения задач динамики и статики гибких нитей в потоке жидкости.

Большая длина гибких буксируемых объектов, значительно превышающая диаметр, позволяет рассматривать их в виде нитей и с учетом реальных значений жесткости на изгиб делает допустимым анализ движения по траекториям без учета изгибной жесткости.

Предъявляемые требования к плавности процессов управления движением буксируемых объектов для исключения механических повреждений и обрывов дают основание предполагать малые колебания натяжений и считать протяженные гибкие объекты нерастяжимыми.

Силы, обусловленные срывом вихрей, вызывают колебания нити. Но они практически не оказывают влияния на траекторное движение буксируемого объекта. Это позволяет учитывать их опосредованно, через коэффициенты гидродинамического сопротивления.

При решении задач управления движением буксируемых объектов используются несколько прямоугольных координат систем земная неподвижная система с ортами полусвязанная система начало которой совмещено с центром масс надводного судна, и полусвязанная система начало которой находится в произвольной точке нити, отстоящей от места крепления к судну на расстояние , где - длина нити.

Состояние элементов нити в любой момент времени определяется вектором скорости поступательного движения текущей точки нити в неподвижной системе координат

Рис. 7.4. Системы координат и кинема тические параметры движения много объектного комплекса.

радиусом-вектором текущей точки

и ортом касательной к нити в точке

который образует меридианальный угол в с вертикальной осью и азимутальный угол между проекцией орта на горизон тальную плоскость и осью в системе координат Проекции орта выражаются тригонометрическими функциями этих углов:

Условие нерастяжимости устанавливает взаимосвязь между углами

Радиус-вектор связан с векторами скорости и касательной для произвольной точки нити соотношениями

Из (7.6) с учетом (7.1) и (7.2) следует

а из (7.7) с учетом (7.2) и (7.3) вытекает

В результате дифференцирования уравнения (7.6) по аргументу , а (7.7) по , получаем основное уравнение связи в векторной форме

что в проекциях на оси неподвижной системы координат имеет вид

Исходное уравнение динамики гибкой нерастяжимой нити представляет собой условие баланса сил движущегося в жидкости элемента нити бесконечно малой длины

которое можно представить в виде дифференциального уравнения в частных производных

где - масса; - векторы сил инерции присоединенных масс воды и внешних сил, рассчитанные на единицу длины нити.

Вектор натяжения нити направлен по касательной в каждой точке

После дифференцирования соотношения (7.10) по пространственному аргументу получаем

или в развернутом виде

Внешние силы, действующие на нить в потоке жидкости, определяются суммой распределенной гидродинамической силы и распределенных сил водоизмещения и веса, разность которых образует вектор плавучести нити

Для определения сил и необходимо рассматривать движение нити относительно воды. Вектор скорости произвольной точки нити относительно воды (гидродинамическая скорость) определяется разностью векторов поступательного движения точки и течения:

Он раскладывается на нормальную и касательную составляющие

таким образом, что все эти три вектора лежат в одноймглоскости, вектор совпадает по направлению с ортом расположен нормально по отношению к нему.

Вектор распределенной гидродинамической силы, рассчитанный на единицу длины однородной нити, определяется по формуле

где - плотность жидкости; - диаметр нити; - коэффициент трения; - коэффициент нормального гидродинамического сопротивления.

Иногда его представляют как сумму гидродинамических распределенных сил формы и трения:

или в виде

Сила инерции присоединенных к нити масс воды выражается двойным векторным произведением

где - присоединенные массы воды, приведенные к единице длины нити.

В (7.19) входит оператор , который отра жает специфическое влияние кривизны движущейся нити на силы инерции присоединенных масс воды. Первое применение его к вектору дает

а повторное приводит к выражению

После вычисления двойного векторного произведения согласно (7.19) с учетом (7.21) получается выражение для силы инерции присоединенных масс, записанное в проекциях на неподвижные координатные оси:

где обозначено скалярное произведение

Подставив выражения (7.12), (7.13), (7.18), (7.22) в векторное уравнение (7.9), можно написать скалярные уравнения динамики нити, сформировав их из проекций векторов на неподвижные оси координат. После тождественных преобразований эти дифференциальные уравнения в частных производных приобретают вид

где , а все переменные величины являются функциями пространственного и временного аргументов: .

Уравнения динамики (7.23) совместно с уравнениями связи (7.8) при ограничении (7.5) образуют математическую модель пространственного движения гибкой нити в потоке жидкости. Эта система уравнений имеет единственное решение при определенных начальных и граничных условиях , которые определяются, в частности, скоростью движения судна-буксира .

Рис. 7.5. Разложение гидродинамической скорости в горизонтальной плоскости.

Уравнения пространственного движения гибкой нити в потоке жидкости позволяют рассчитывать ее статические пространственные конфигурации в стационарном режиме движения с постоянной скоростью при неизменной скорости течения. При этих условиях все частные производные переменных величин по временному аргументу обращаются в нуль, а граничные условия принимаются постоянными величинами. В результате этих упрощений пространственные статические конфигурации нити определяются системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, независимой переменной которых является пространственный аргумент:

Дальнейшего упрощения математической модели при расчете пространственных конфигураций можно достичь, если допустить, что вектор гидродинамической скорости любой точки нити располагается в горизонтальной плоскости (рис. 7.5). При этом - угол между направлением оси и вектором в полусвязанной системе координат , а уравнения приобретают вид

Их решение ограничено условиями

.

Нелинейный характер уравнений практически всегда требует использования ЭВМ при расчете статических пространственных конфигураций гибких протяженных буксируемых объектов.