1.3. Кинематические параметры и уравнения связи вращательного движения

Ориентация МПО в пространстве в любой момент определяется взаимным расположением полусвязанной и подвижной координатных систем, которое характеризуется тремя угловыми координатами. Для этого используются углы Эйлера [16] :

- угол рыскания у угол между проекцией связанной оси на горизонтальную плоскость и осью

- угол дифферента (тангажа) угол между связанной осью и горизонтальной плоскостью;

- угол крена в угол между продольной плоскостью симметрии МПО (диаметральной плоскостью) и вертикальной плоскостью, содержащей связанную ось .

Три последовательных поворота против часовой стрелки (рис. 1.5) вокруг вертикальной, поперечной и продольной осей на углы в переводят связанную систему координат из начального состояния, когда она совмещена с полусвязанной, через промежуточные положения 1 и 2 (при которых ее оси обозначаются соответственно) в некоторое произвольное положение определяющего ориентацию объекта в текущий момент времени. Поэтому углы Эйлера представляют собой кинематические параметры вращательного движения, описывающие состояние МПО с точки зрения его ориентации в пространстве. Для удобства определения углов рыскания, дифферента и крена на рис. 1.5 приведены не только трехмерные изображения состояния координатных систем, но и двумерные в плоскостях, перпендикулярных тем осям, относительно которых осуществляется поворот. Нетрудно убедиться, что угол рыскания является положительным при повороте диаметральной плоскости корабля на левый борт относительно заданного направления движения угол дифферента - при дифференте на корму, а угол крена при крене на правый борт.

Связь углов Эйлера с другими кинематическими параметрами вращательного движения проекциями угловой скорости на связанные оси устанавливается на основе кинематических соотношений, которые также называют уравнениями связи вращательного движения. Их можно получить спроектировав на три связанные оси векторы производных углов рыскания, дифферента и крена, каждый из которых по модулю равен скорости изменения соответствующего угла и направлен по частной оси вращения (см. рис. 1.5). Сумма проекций векторов производных для углов Эйлера на каждую ось составит проекцию угловой скорости вращательного движения. Еще раз проанализировав рис. 1.5, можно установить, что

.

Отсюда несложно получить кинематические соотношения (уравнения связи) вращательного движения МПО в матричной форме

Рис. 1.5. Углы Эйлера

или, обозначив кинематическую матрицу вращательного движения а матрицу-столбец производных углов Эйлера получим общий вид матричного уравнения связи

Относительно углов рыскания, дифферента и крена уравнение (1.6) представляет собой систему дифференциальных уравнений

которую можно использовать для расчета угловой ориентации корабля.

Прямая и обратная кинематические матрицы и существенно упрощаются при малых углах рыскания, крена и дифферента. Известно, что при а (с погрешностью не выше ) а (с погрешностью менее так как ). С учетом этого соотношения (1.5) приобретают вид

При малых углах Эйлера и одинаковом уровне их производных в выражениях (1.8) определяющими оказываются только первые слагаемые. Поэтому приблизительно можно считать, что проекции на связанные оси угловой скорости вращения МПО совпадают с соответствующими производными эйлеровых углов

а кинематические матрицы становятся единичными матрицами: